L’énergie le long d’une ligne de courant
Le principe de Bernoulli, publié par Daniel Bernoulli en 1738, traduit la conservation de l’énergie dans un fluide en mouvement. Pour un écoulement permanent, incompressible et sans frottement, la somme suivante est la même en tout point d’une ligne de courant :
p + ½ × ρ × v² + ρ × g × z = constante
où p est la pression, ρ la masse volumique, v la vitesse, g la pesanteur et z l’altitude. Les trois termes sont l’énergie de pression, l’énergie cinétique et l’énergie potentielle par unité de volume.
Ce que fait le calculateur
Vous saisissez la pression et la vitesse au point 1, les diamètres de la conduite aux deux points et les deux altitudes. Le calculateur applique d’abord la conservation du débit, le même volume traversant chaque section :
v₂ = v₁ × (d₁ ÷ d₂)²
Il résout ensuite l’équation de Bernoulli pour la pression au point 2 et donne le débit et la pression dynamique ½ρv² au point 2. Les pressions sont relatives, c’est-à-dire mesurées par rapport à la pression atmosphérique.
Exemple
De l’eau à 200 kPa (2 bar) circule à 2 m/s dans une conduite de 50 mm qui se réduit à 25 mm et monte de 3 m :
| Résultat | Valeur |
|---|---|
| Vitesse au point 2 | 8 m/s |
| Pression au point 2 | 140,58 kPa |
| Variation de pression | −59,42 kPa |
| Débit | 3,93 L/s |
| Pression dynamique au point 2 | 32 kPa |
Diviser le diamètre par deux multiplie la vitesse par quatre. Environ 30 kPa de la baisse servent à accélérer l’eau, et 29,4 kPa à la monter de 3 m (chaque mètre de colonne d’eau vaut 9,8 kPa, soit environ 0,1 bar).
Où l’on retrouve Bernoulli
- Les venturis mesurent un débit à partir de la baisse de pression dans un col étroit.
- Les tubes de Pitot des avions comparent pression totale et pression statique pour obtenir la vitesse.
- Les carburateurs et pulvérisateurs utilisent la dépression d’un jet rapide pour aspirer le carburant ou le liquide.
- Les châteaux d’eau transforment la hauteur en pression : 10 m de hauteur donnent environ 1 bar au robinet.
Les limites de l’équation idéale
Une vraie conduite perd de l’énergie par frottement, dans les coudes, les vannes et les changements de section. La pression réelle en aval est donc plus faible que la valeur idéale, parfois nettement sur un long réseau : pour un dimensionnement, ajoutez un calcul de pertes de charge (Darcy-Weisbach ou Hazen-Williams). L’équation suppose aussi un fluide incompressible, ce qui convient aux liquides et à l’air en dessous de 30 % environ de la vitesse du son.
Si la pression relative calculée approche −101 kPa, le liquide atteint le vide et se met à bouillir à température ambiante. Cette cavitation limite la vitesse à laquelle on peut faire passer de l’eau dans un rétrécissement.