Loi de Poiseuille : calcul du débit dans un tube

Pourquoi les tubes fins freinent autant l’écoulement

Quand un liquide visqueux s’écoule lentement dans un tube, la couche en contact avec la paroi reste immobile et chaque couche intérieure glisse sur la suivante. Le profil de vitesse est une parabole, maximale au centre. En additionnant toutes ces couches, on obtient la loi de Poiseuille :

Q = π r⁴ ΔP ÷ (8 μ L)

Q est le débit volumique.
r est le rayon intérieur du tube (la moitié du diamètre).
ΔP est la différence de pression entre les deux extrémités.
μ est la viscosité dynamique du fluide.
L est la longueur du tube.

Le point frappant est la puissance quatre du rayon : diviser le diamètre par deux divise le débit par 16 à pression égale.

Utiliser le calculateur

Saisissez le diamètre intérieur, en millimètres ou en pouces.
Saisissez la longueur du tube et la différence de pression, en kPa, mmHg, bar ou psi.
Choisissez un fluide, ou « Autre » pour saisir sa viscosité en mPa·s (égale au centipoise) et sa masse volumique.

Exemple

De l’eau à 20 °C s’écoule dans 1 m de tube de 1 mm de diamètre intérieur sous une différence de pression de 10 kPa (0,1 bar). La loi de Poiseuille donne :

Débit : 0,245 mL/s, soit environ 14,7 mL par minute.
Vitesse moyenne : 0,312 m/s, et le double, 0,62 m/s, au centre.
Nombre de Reynolds : 311, bien en dessous de 2 300 : l’écoulement est laminaire et la loi s’applique.
Avec un diamètre de 2 mm, le même montage débiterait 16 fois plus : 3,93 mL/s.

Applications

Médecine : les cathéters veineux sont classés en gauges. Un cathéter 14 G débite plusieurs fois plus qu’un 20 G, surtout grâce à son rayon. Le même principe explique pourquoi une artère rétrécie réduit autant le flux sanguin.
Laboratoire : les viscosimètres capillaires, comme le tube d’Ostwald, mesurent la viscosité en chronométrant l’écoulement dans un tube de verre fin.
Microfluidique et dosage : choix d’aiguilles, de buses et de goutte-à-goutte.

Limites

La loi suppose un écoulement laminaire, un fluide newtonien, un tube rigide et droit, et une longueur très supérieure au diamètre pour que les effets d’entrée soient négligeables. Au-delà d’un nombre de Reynolds d’environ 2 300, la turbulence apparaît et le débit réel est inférieur à la prévision. Pour les canalisations d’eau, utilisez plutôt un calcul de pertes de charge selon Darcy-Weisbach.

Questions fréquentes

Qu'est-ce que la loi de Poiseuille ?

Q = πr⁴ΔP ÷ (8μL). Elle donne le débit d'un fluide visqueux dans un tube long, droit et rigide quand l'écoulement est laminaire. Le médecin français Jean Léonard Marie Poiseuille l'a établie dans les années 1840 en étudiant la circulation du sang ; l'Allemand Gotthilf Hagen l'a trouvée de son côté, d'où le nom de loi de Hagen-Poiseuille.

Pourquoi le rayon compte-t-il autant ?

Le débit varie comme la puissance quatre du rayon. Doubler le diamètre multiplie le débit par 16, et rétrécir un vaisseau de 20 % réduit le débit de près de 60 %. C'est pourquoi on pose un cathéter de gros calibre pour un remplissage rapide.

Quand la loi de Poiseuille ne s'applique-t-elle plus ?

Quand l'écoulement devient turbulent, en général au-delà d'un nombre de Reynolds d'environ 2 300 dans un tube. Elle suppose aussi un fluide newtonien, un tube rigide et une longueur très supérieure au diamètre. Le sang n'est newtonien qu'approximativement.

Quelles viscosités le calculateur utilise-t-il ?

Eau : 1,0 mPa·s à 20 °C et 0,69 mPa·s à 37 °C ; sang : environ 3,5 mPa·s ; huile d'olive : environ 81 mPa·s ; glycérine : environ 1 410 mPa·s à température ambiante. Choisissez « Autre » pour saisir votre propre viscosité et masse volumique.

Résultats indicatifs fournis à titre d'information. Ils ne remplacent pas l'avis d'un professionnel.

Loi de Poiseuille : débit laminaire dans un tube