Comment tombent les petites particules
Un caillou jeté dans un lac coule en quelques secondes ; remuez de la vase, et l’eau reste trouble pendant des heures. La différence tient à la taille. Pour les petites particules, la viscosité du fluide domine et elles atteignent très vite une vitesse limite lente et constante. En 1851, le physicien irlandais George Gabriel Stokes a calculé la traînée d’une petite sphère, et donc la vitesse à laquelle les particules sédimentent.
La formule
v = (ρp − ρf) × g × d² ÷ (18 μ)
- ρp et ρf sont les masses volumiques de la particule et du fluide.
- g est l’accélération de la pesanteur, 9,81 m/s².
- d est le diamètre de la particule.
- μ est la viscosité dynamique du fluide : environ 1,0 mPa·s pour l’eau à 20 °C et 0,018 mPa·s pour l’air.
Si la particule est plus légère que le fluide, v est négative et elle remonte, comme la crème dans le lait ou une bulle dans l’eau.
Exemple chiffré
Un grain de sable quartzeux de 50 µm, de masse volumique 2 650 kg/m³, dans l’eau à 20 °C :
- Vitesse de sédimentation : 1 652 × 9,81 × (50 × 10⁻⁶)² ÷ (18 × 0,001) = 2,25 mm/s.
- Temps pour descendre de 1 m : environ 445 secondes, soit 7,4 minutes.
- Nombre de Reynolds : 0,11, bien inférieur à 1 : la formule est valable.
- Force de traînée à la vitesse limite : environ 1,06 × 10⁻⁹ N, égale au poids apparent du grain dans l’eau.
Tout est question de taille
La vitesse croît avec le carré du diamètre, si bien que de petites différences de taille changent tout :
| Particule dans l’eau | Diamètre | Vitesse de chute approximative |
|---|---|---|
| Sable fin | 100 µm | 9 mm/s |
| Sable très fin | 50 µm | 2,2 mm/s |
| Limon | 10 µm | 0,09 mm/s |
| Argile | 2 µm | 0,004 mm/s |
Une particule d’argile met environ deux jours à descendre de 60 cm : c’est pourquoi l’eau boueuse s’éclaircit si lentement, et pourquoi les laboratoires de pédologie mesurent la teneur en argile et en limon en chronométrant la sédimentation.
Quand la loi de Stokes ne s’applique plus
La formule suppose une sphère lisse, un fluide au repos, pas de paroi proche et un nombre de Reynolds inférieur à 1 environ. Au-delà, l’écoulement autour de la particule n’est plus purement visqueux et la chute réelle est plus lente que prévu. Les grains irréguliers tombent aussi moins vite qu’une sphère de même volume. Les très fines particules, sous 1 µm dans l’air, sont agitées par les chocs des molécules (mouvement brownien) et demandent des corrections.
Applications
- Traitement de l’eau : les bassins de décantation sont dimensionnés pour que les particules atteignent le fond avant la sortie de l’eau.
- Géotechnique et pédologie : la sédimentométrie sépare sables, limons et argiles d’après leur temps de chute.
- Qualité de l’air : une gouttelette d’eau de 10 µm tombe à environ 3 mm/s dans l’air calme, alors qu’une particule de 1 µm tombe environ cent fois moins vite et peut rester des heures en suspension.
- Physique : l’expérience de la goutte d’huile de Millikan utilisait la loi de Stokes pour déterminer la taille des gouttes, puis la charge de l’électron.