La masse de la rotation
Quand on pousse un chariot, sa masse s’oppose au changement de vitesse. Quand on fait tourner une roue, la résistance dépend non seulement de la masse mais de sa position : une masse éloignée de l’axe est bien plus difficile à mettre en rotation, et à arrêter. Cette inertie de rotation est le moment d’inertie, I, exprimé en kg·m² :
I = Σ m r²
Chaque élément de masse compte avec le carré de sa distance à l’axe. Doubler le rayon d’une roue de même masse multiplie son moment d’inertie par quatre.
Formules des formes courantes
| Forme | Moment d’inertie |
|---|---|
| Cylindre plein ou disque, autour de son axe | ½ m r² |
| Anneau ou tube à paroi mince | m r² |
| Tube épais | ½ m (r₁² + r₂²) |
| Sphère pleine | ⅖ m r² |
| Sphère creuse à paroi mince | ⅔ m r² |
| Tige autour de son centre | m L² ÷ 12 |
| Tige autour d’une extrémité | m L² ÷ 3 |
| Plaque rectangulaire autour de son centre | m (a² + b²) ÷ 12 |
Exemple
Un volant d’inertie en acier en forme de disque plein pèse 10 kg et mesure 15 cm de rayon :
- I = ½ × 10 × 0,15² = 0,1125 kg·m².
- Rayon de giration : 0,707 × 15 cm = 10,6 cm.
- À 3 000 tr/min (314,2 rad/s), il stocke ½ × 0,1125 × 314,2² ≈ 5 552 joules, de quoi soulever une masse de 50 kg à plus de 11 m.
La même masse répartie en une jante mince de même rayon aurait un moment d’inertie double et stockerait deux fois plus d’énergie.
Applications
- Moteurs et volants d’inertie : un volant lourd régularise les à-coups d’un moteur à pistons ; un volant allégé permet au moteur de monter plus vite en régime.
- Sport : une patineuse ramène les bras contre elle pour réduire son moment d’inertie et tourner plus vite, car le moment cinétique I × ω se conserve.
- Vélo et automobile : la masse en rotation des roues coûte de l’énergie à chaque accélération, d’où l’intérêt des jantes légères.
- Conception mécanique : le choix d’un moteur de convoyeur, de ventilateur ou de robot dépend de l’inertie de la charge.
Remarques
Les formules supposent une masse volumique uniforme et un axe passant par le centre de masse, sauf pour la tige tournant autour d’une extrémité. Pour un autre axe parallèle, ajoutez m d², d étant la distance entre les axes (théorème de Huygens). Ce calculateur donne le moment d’inertie de masse, pas le moment quadratique de section utilisé en résistance des matériaux pour la flexion des poutres.