Pourquoi passer du triangle à l’étoile
Certains réseaux de résistances ne se simplifient pas avec les seules règles série et parallèle, comme un pont déséquilibré. Le théorème de Kennelly (1899), ou transformation triangle-étoile, remplace trois résistances formant un triangle par trois résistances en étoile, ou l’inverse, sans rien changer pour le reste du circuit entre les nœuds A, B et C.
Du triangle à l’étoile
Avec les résistances du triangle Rab, Rbc et Rca et leur somme S :
- Ra = Rab × Rca ÷ S
- Rb = Rab × Rbc ÷ S
- Rc = Rbc × Rca ÷ S
Chaque résistance de l’étoile vaut le produit des deux résistances du triangle qui touchent son nœud, divisé par la somme des trois.
De l’étoile au triangle
Avec P = Ra × Rb + Rb × Rc + Rc × Ra :
- Rab = P ÷ Rc
- Rbc = P ÷ Ra
- Rca = P ÷ Rb
Chaque résistance du triangle vaut la somme des produits deux à deux, divisée par la résistance de l’étoile du nœud opposé.
Exemple
Un triangle de Rab = 30 Ω, Rbc = 60 Ω et Rca = 90 Ω (somme 180 Ω) :
- Ra = 30 × 90 ÷ 180 = 15 Ω ;
- Rb = 30 × 60 ÷ 180 = 10 Ω ;
- Rc = 60 × 90 ÷ 180 = 30 Ω.
Retour au triangle : P = 15 × 10 + 10 × 30 + 30 × 15 = 900, donc Rab = 900 ÷ 30 = 30 Ω, Rbc = 900 ÷ 15 = 60 Ω et Rca = 900 ÷ 10 = 90 Ω.
Réseau équilibré
Quand les trois résistances sont égales, la règle est simple : R_Y = R_Δ ÷ 3 et R_Δ = 3 × R_Y. C’est ce qu’on utilise pour les charges triphasées équilibrées.
Usages
- Résoudre à la main des ponts, comme un pont de Wheatstone déséquilibré.
- Triphasé : ramener un moteur ou un radiateur couplé en triangle à son équivalent étoile par phase.
- Démarrage étoile-triangle des moteurs asynchrones : démarrer en étoile réduit la tension par enroulement de √3, et le courant et le couple de démarrage au tiers.
- Conception de filtres et d’atténuateurs en pi et en T.
Les mêmes formules s’appliquent aux impédances complexes en alternatif, mais ce calculateur ne traite que des résistances réelles.