À quoi sert le modèle de Black-Scholes ?
Une option donne le droit, mais pas l’obligation, d’acheter (call) ou de vendre (put) un actif à un prix d’exercice fixé, à une date donnée. En 1973, Fischer Black et Myron Scholes, avec Robert Merton, ont publié une formule donnant le juste prix de ces options. Elle a valu le prix Nobel d’économie 1997 et reste le modèle de référence sur les marchés d’options, dont Euronext à Paris.
La formule
Avec S le cours du sous-jacent, K le prix d’exercice, t l’échéance en années, σ la volatilité, r le taux sans risque et q le rendement du dividende :
- d₁ = [ln(S ÷ K) + (r − q + σ²/2) × t] ÷ (σ√t)
- d₂ = d₁ − σ√t
- Call = S e^(−qt) N(d₁) − K e^(−rt) N(d₂)
- Put = K e^(−rt) N(−d₂) − S e^(−qt) N(−d₁)
N() est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.
Exemple
Une action cote 100 €. On étudie des options de prix d’exercice 105 €, d’échéance 90 jours, avec une volatilité de 25 %, un taux sans risque de 2,5 % et sans dividende.
| Résultat | Valeur |
|---|---|
| Prix du call | 3,17 € |
| Prix du put | 7,53 € |
| Delta du call | 0,389 |
| Delta du put | −0,611 |
| Gamma | 0,0309 |
| Vega | 0,19 € par point de volatilité |
| Thêta du call | −0,029 € par jour |
| Probabilité (risque neutre) que le call finisse dans la monnaie | 34,3 % |
Le call moins le put vaut S − K e^(−rt) ≈ −4,35 € : c’est la parité call-put, un contrôle rapide de la cohérence des deux prix.
Les grecques
- Delta : variation du prix de l’option pour une hausse de 1 € du sous-jacent ; c’est aussi un ratio de couverture approximatif.
- Gamma : vitesse de variation du delta, maximale pour une option à la monnaie proche de l’échéance.
- Vega : variation du prix pour une hausse d’un point de volatilité.
- Thêta : érosion du prix avec le temps, en général négative pour l’acheteur et plus rapide dans les dernières semaines.
Hypothèses et limites
Le modèle suppose une volatilité et des taux constants, des cours qui suivent une marche aléatoire log-normale sans sauts, l’absence de frais et un exercice à l’échéance seulement (option européenne). Sur les marchés, on observe un smile de volatilité : les options éloignées de la monnaie se négocient à des volatilités implicites plus élevées. Utilisez le résultat comme repère, pas comme un prix garanti.
Produits à effet de levier
Les warrants proposés aux particuliers sont des options émises par des banques, dont le prix intègre la marge de l’émetteur. L’Autorité des marchés financiers (AMF) rappelle régulièrement que la grande majorité des particuliers perdent de l’argent sur les produits à effet de levier : une option peut perdre toute sa valeur à l’échéance.
Ce calculateur fournit des estimations à visée pédagogique. Il ne constitue pas un conseil en investissement, fiscal ou juridique : pour votre situation personnelle, consultez un conseiller en gestion de patrimoine, votre banque ou un expert-comptable.