La courbe en cloche en pratique
La loi normale, ou loi de Laplace-Gauss, décrit de nombreuses mesures qui résultent d’une multitude de petites influences indépendantes : tailles, notes, erreurs de mesure, volume de remplissage des bouteilles d’une chaîne de production. Elle est entièrement définie par deux paramètres : la moyenne μ, qui fixe son centre, et l’écart type σ, qui fixe sa largeur. Le calculateur donne la probabilité qu’une valeur soit inférieure à une borne, supérieure à une autre, comprise entre les deux ou en dehors.
Les formules
- On convertit chaque borne en score z : z = (x − μ) ÷ σ
- P(X < a) = Φ(z_a), la fonction de répartition de la loi normale
- P(X > b) = 1 − Φ(z_b)
- P(a < X < b) = Φ(z_b) − Φ(z_a)
Φ n’a pas d’expression simple ; le calculateur l’évalue à partir de la fonction d’erreur, avec une quinzaine de chiffres significatifs.
Exemple chiffré : le remplissage de bouteilles
Une remplisseuse dose des bouteilles avec une moyenne de 500 mL et un écart type de 4 mL. Le cahier des charges accepte toute bouteille entre 492 et 508 mL.
- Scores z des bornes : (492 − 500) ÷ 4 = −2 et (508 − 500) ÷ 4 = +2.
- P(492 < X < 508) = Φ(2) − Φ(−2) = 95,45 % des bouteilles sont conformes.
- 2,275 % sont sous-remplies et 2,275 % trop remplies : 4,55 % de rebut.
- En réduisant la dispersion à σ = 2 mL, les bornes passeraient à ±4σ et moins d’une bouteille sur 15 000 serait écartée.
La règle 68-95-99,7
| Intervalle | Part à l’intérieur | Part à l’extérieur |
|---|---|---|
| μ ± 1σ | 68,27 % | 31,73 % |
| μ ± 1,645σ | 90 % | 10 % |
| μ ± 1,96σ | 95 % | 5 % |
| μ ± 2σ | 95,45 % | 4,55 % |
| μ ± 2,576σ | 99 % | 1 % |
| μ ± 3σ | 99,73 % | 0,27 % |
Usages courants
- Industrie : part des pièces dans les tolérances, indicateurs de capabilité et objectifs « six sigma ».
- Préemballages : pour les produits marqués du signe ℮, la réglementation impose une moyenne au moins égale à la quantité annoncée et limite la part de paquets trop peu remplis, ce qui se vérifie avec ce type de calcul.
- Tests psychométriques : le QI est étalonné sur une moyenne de 100 et un écart type de 15, si bien que 68 % des personnes obtiennent entre 85 et 115.
- Biologie médicale : les valeurs de référence d’un bilan correspondent souvent aux 95 % centraux d’une population en bonne santé ; une personne en bonne santé sur vingt sort donc de la fourchette.
Vérifier que le modèle convient
La loi normale est symétrique et ses queues décroissent très vite. Des données bornées d’un côté (délais, prix), fortement asymétriques (revenus) ou à queues épaisses (rendements boursiers) peuvent donner des probabilités très différentes, surtout loin de la moyenne. En cas de doute, comparez l’histogramme de vos données à la courbe en cloche avant de vous fier au résultat.