L’aire sous une courbe
L’intégrale d’une fonction f entre deux nombres a et b additionne les valeurs de f sur l’intervalle. Géométriquement, c’est l’aire algébrique entre la courbe y = f(x) et l’axe des abscisses, de x = a à x = b : l’aire au-dessus de l’axe compte positivement, celle en dessous négativement. Les intégrales apparaissent partout où une grandeur s’accumule : distance parcourue, travail d’une force, probabilité totale. Elles sont au programme de la spécialité mathématiques de terminale.
Le théorème fondamental de l’analyse
Pour calculer une intégrale, on cherche une primitive F, c’est-à-dire une fonction dont la dérivée est f, et on fait la différence de ses valeurs aux bornes :
∫ f(x) dx de a à b = F(b) − F(a)
Pour un polynôme, une seule règle suffit : une primitive de xⁿ est xⁿ⁺¹ ÷ (n + 1). Le calculateur traite tout polynôme de degré 4 au plus :
F(x) = p₄x⁵/5 + p₃x⁴/4 + p₂x³/3 + p₁x²/2 + p₀x
Exemple
Intégrons f(x) = 3x² − 2x + 1 de 0 à 2 :
- Primitive : F(x) = x³ − x² + x.
- F(2) = 8 − 4 + 2 = 6. F(0) = 0.
- Intégrale : 6 − 0 = 6.
- Valeur moyenne de f sur l’intervalle : 6 ÷ 2 = 3.
- f(0) = 1, f(1) = 2 et f(2) = 9 : la méthode de Simpson donne 2 ÷ 6 × (1 + 4 × 2 + 9) = 6, la valeur exacte, car le polynôme est de degré 2.
Propriétés utiles
- Inverser les bornes change le signe : ∫ de b à a = −∫ de a à b.
- Relation de Chasles : ∫ de a à c = ∫ de a à b + ∫ de b à c.
- Linéarité : l’intégrale d’une somme est la somme des intégrales, et les constantes sortent de l’intégrale.
- Fonctions impaires : sur un intervalle symétrique comme [−2 ; 2], leur intégrale est nulle, les aires au-dessus et en dessous se compensant.
Aire algébrique ou aire géométrique
Si la courbe traverse l’axe des abscisses, l’intégrale retranche les parties situées sous l’axe. Par exemple, l’intégrale de x de −1 à 1 vaut 0, alors que les deux triangles hachurés ont une aire totale de 1. Pour obtenir l’aire géométrique, cherchez où la fonction s’annule, intégrez chaque morceau séparément et additionnez les valeurs absolues.
Valeur moyenne
La valeur moyenne de f sur [a ; b] est l’intégrale divisée par b − a. C’est la hauteur du rectangle de même base et de même aire que la surface sous la courbe. Si f est une vitesse, sa valeur moyenne est la vitesse moyenne sur l’intervalle de temps.
Méthodes numériques
Pour les fonctions sans primitive simple, on estime l’intégrale numériquement : méthode des rectangles, des trapèzes, ou méthode de Simpson, qui fait passer une parabole par les deux bornes et le milieu : (b − a) ÷ 6 × (f(a) + 4f(m) + f(b)). Elle est exacte pour les polynômes de degré 3 au plus, ce qui en fait un bon contrôle du résultat exact pour les fonctions cubiques et de degré inférieur. Pour un degré 4, elle est proche sans être exacte ; découper l’intervalle en plusieurs morceaux améliore l’estimation.