Un défi célèbre de la Renaissance
Les scribes babyloniens savaient déjà résoudre les équations du second degré, mais l’équation du troisième degré ax³ + bx² + cx + d = 0 a résisté pendant des millénaires. Vers 1515, Scipione del Ferro, à Bologne, trouve une méthode qu’il garde secrète. Niccolò Tartaglia la redécouvre en 1535 et la confie à Jérôme Cardan, qui la publie en 1545 dans son Ars Magna. La querelle qui s’ensuit est l’une des plus célèbres de l’histoire des mathématiques.
La méthode de résolution
- Réduire l’équation. On pose x = t − b ÷ (3a). Le terme en x² disparaît et l’on obtient t³ + pt + q = 0, avec p = (3ac − b²) ÷ (3a²) et q = (2b³ − 9abc + 27a²d) ÷ (27a³).
- Calculer le discriminant Δ = q²/4 + p³/27.
- Si Δ > 0, il y a une racine réelle : t = ∛(−q/2 + √Δ) + ∛(−q/2 − √Δ). Les deux autres sont complexes conjuguées.
- Si Δ < 0, il y a trois racines réelles distinctes. La formule de Cardan exigerait des racines cubiques de nombres complexes, d’où le recours à la méthode trigonométrique de François Viète : t = 2√(−p/3) × cos(θ − 120°k), pour k = 0, 1, 2.
- Si Δ = 0, deux ou trois racines sont confondues.
- On revient à x par x = t − b ÷ (3a).
Attention : les manuels français définissent souvent le discriminant par −(4p³ + 27q²), de signe opposé et 108 fois plus grand. Le calculateur affiche la quantité q²/4 + p³/27, positive quand il n’y a qu’une racine réelle.
Exemple
Résolvons x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 (a = 1, b = −6, c = 11, d = −6).
- p = (33 − 36) ÷ 3 = −1 et q = (−432 + 594 − 162) ÷ 27 = 0.
- Δ = 0 + (−1)³ ÷ 27 = −0,037037, négatif : trois racines réelles.
- La méthode trigonométrique donne x = 3, 2 et 1.
Vérification : (x − 1)(x − 2)(x − 3) se développe en x³ − 6x² + 11x − 6.
Lire les résultats
- Avec une seule racine réelle, le calculateur donne la partie réelle et la partie imaginaire ± des deux racines complexes. Pour x³ − 1 = 0, on obtient 1 et −0,5 ± 0,86603i.
- Les arrondis peuvent afficher 2,9999999 au lieu de 3 ; les résultats sont donnés avec 8 chiffres significatifs.
- Si a = 0, l’équation n’est plus du troisième degré : utilisez le calculateur d’équation du second degré.
Où rencontre-t-on ces équations ?
En physique avec l’équation d’état de Van der Waals des gaz réels, en ingénierie pour la profondeur d’enfoncement d’un objet flottant, en économie avec les fonctions de coût cubiques, et en infographie avec les courbes de Bézier, du nom de l’ingénieur de Renault Pierre Bézier.