Résoudre ax² + bx + c = 0
L’équation du second degré est au cœur du programme de première : discriminant, racines, forme canonique et variations de la parabole. Elle sert aussi en physique, pour la trajectoire d’un projectile, ou en économie, pour trouver un seuil de rentabilité. Ce calculateur donne le discriminant, les solutions réelles ou complexes, le sommet de la parabole ainsi que la somme et le produit des racines pour vérifier le résultat.
La méthode du discriminant
On calcule Δ = b² − 4ac, puis :
- si Δ > 0, l’équation a deux solutions réelles : x₁ = (−b − √Δ) ÷ 2a et x₂ = (−b + √Δ) ÷ 2a ;
- si Δ = 0, elle a une solution double : x₀ = −b ÷ 2a ;
- si Δ < 0, elle n’a pas de solution réelle. Dans l’ensemble des complexes, les solutions sont (−b ± i√(−Δ)) ÷ 2a.
Le trinôme se factorise alors en a(x − x₁)(x − x₂) quand Δ est positif ou nul.
Exemple chiffré : 2x² − 4x − 6 = 0
- Ici a = 2, b = −4 et c = −6.
- Discriminant : (−4)² − 4 × 2 × (−6) = 16 + 48 = 64.
- √64 = 8, donc x₁ = (4 − 8) ÷ 4 = −1 et x₂ = (4 + 8) ÷ 4 = 3.
- Forme factorisée : 2(x + 1)(x − 3).
- Sommet : α = 4 ÷ 4 = 1 et β = f(1) = 2 − 4 − 6 = −8. Forme canonique : 2(x − 1)² − 8.
- Vérification : x₁ + x₂ = 2 = −b ÷ a et x₁ × x₂ = −3 = c ÷ a.
Effet du coefficient c
Pour 2x² − 4x + c = 0 :
| c | Discriminant | x₁ | x₂ |
|---|---|---|---|
| −6 | 64 | −1 | 3 |
| −2 | 32 | −0,4142 | 2,4142 |
| 0 | 16 | 0 | 2 |
| 1 | 8 | 0,2929 | 1,7071 |
| 2 | 0 | 1 | 1 |
| 4 | −16 | 1 − i | 1 + i |
Augmenter c fait monter la parabole. Pour c = 2, elle touche l’axe des abscisses en son sommet ; au-delà, elle ne le coupe plus.
Signe du trinôme et parabole
Le signe de a donne l’orientation de la parabole : vers le haut si a > 0, le sommet est alors un minimum ; vers le bas si a < 0, le sommet est un maximum. Le trinôme est du signe de a à l’extérieur des racines et du signe contraire entre elles. Pour 2x² − 4x − 6, il est négatif sur ]−1 ; 3[ et positif ailleurs : c’est ce qui permet de résoudre une inéquation comme 2x² − 4x − 6 > 0.
Les autres méthodes
- Les racines évidentes : si une racine saute aux yeux, comme x = −1 ici, on obtient l’autre avec le produit des racines : x₂ = (c ÷ a) ÷ x₁ = −3 ÷ (−1) = 3.
- La forme canonique, obtenue en complétant le carré, donne directement le sommet et les solutions.
- Les identités remarquables : x² − 9 = (x − 3)(x + 3) se résout sans discriminant.
Un exemple de physique
Une balle lancée vers le haut à 15 m/s depuis 2 m de hauteur suit approximativement h(t) = −4,9t² + 15t + 2. Elle touche le sol quand h = 0 : Δ = 225 + 39,2 = 264,2, et la solution positive vaut t = (−15 − √264,2) ÷ (−9,8) ≈ 3,19 secondes. Le sommet, atteint à t = 15 ÷ 9,8 ≈ 1,53 s, donne la hauteur maximale : environ 13,5 m.
Cas particuliers
Si a = 0, l’équation n’est plus du second degré : bx + c = 0 a pour solution x = −c ÷ b. Quand b² est très grand devant 4ac, le calcul des deux racines par la formule peut perdre en précision ; mieux vaut alors calculer la plus grande en valeur absolue et déduire l’autre du produit c ÷ a.