La règle de trois, ou produit en croix
La règle de trois est l’un des calculs les plus utiles de la vie courante : elle permet de trouver une quatrième valeur à partir de trois autres, dès que deux grandeurs sont proportionnelles. Prix au kilo, recette pour plus de personnes, échelle d’un plan, conversion de devises ou dosage d’un médicament : la méthode est toujours la même. Ce calculateur traite la proportionnalité directe et la proportionnalité inverse.
Les formules
Proportionnalité directe : a/b = c/x, donc x = b × c ÷ a. Le rapport b ÷ a, la valeur pour une unité, reste constant.
Proportionnalité inverse : a × b = c × x, donc x = a × b ÷ c. Le produit reste constant.
On présente souvent le calcul dans un tableau de proportionnalité :
| Quantité | Prix |
|---|---|
| a = 3 kg | b = 7,50 € |
| c = 5 kg | x = ? |
On multiplie les deux nombres placés en diagonale, 7,50 et 5, puis on divise par le troisième, 3.
Exemple chiffré : proportionnalité directe
Trois kilos de pommes coûtent 7,50 €. Combien coûtent cinq kilos ?
- Produit en croix : x = 7,50 × 5 ÷ 3 = 12,50 €.
- Vérification par le passage à l’unité : 7,50 ÷ 3 = 2,50 € le kilo, et 5 × 2,50 = 12,50 €.
- Le coefficient de proportionnalité entre les deux prix vaut 12,50 ÷ 7,50 = 1,67.
| Kilos | Prix |
|---|---|
| 1 | 2,50 € |
| 2 | 5,00 € |
| 3 | 7,50 € |
| 5 | 12,50 € |
| 10 | 25,00 € |
| 12 | 30,00 € |
Exemple chiffré : proportionnalité inverse
Quatre ouvriers mettent 6 jours pour un chantier. Combien de jours faut-il à trois ouvriers travaillant au même rythme ?
- La quantité de travail est constante : 4 × 6 = 24 jours-ouvrier.
- Avec trois ouvriers : x = 4 × 6 ÷ 3 = 8 jours.
Doubler l’équipe divise le temps par deux : c’est la marque d’une proportionnalité inverse. On la retrouve aussi entre la vitesse et la durée d’un trajet de longueur fixée.
Les usages courants
- Courses : prix au kilo ou au litre, comparaison de formats.
- Cuisine : adapter une recette de 4 à 6 personnes revient à tout multiplier par 6 ÷ 4.
- Cartes et plans : sur une carte au 1/25 000, 4 cm représentent 4 × 25 000 = 100 000 cm, soit 1 km.
- Devises : si 1 € vaut 1,08 $, 250 € valent 270 $.
- Pourcentages : 18 élèves sur 24 représentent 18 × 100 ÷ 24 = 75 %.
- Santé : une dose prescrite en milligrammes par kilo de poids corporel.
Quand la règle de trois ne marche pas
La méthode suppose une vraie proportionnalité. Méfiez-vous des situations suivantes :
- Les forfaits et abonnements : un taxi avec une prise en charge de 4 € et 2 € par kilomètre n’est pas proportionnel. 10 km coûtent 24 €, pas cinq fois le prix de 2 km.
- Les tarifs dégressifs : un prix unitaire qui baisse avec la quantité.
- Les intérêts composés : un placement ne croît pas en ligne droite.
- Les limites physiques : si 4 ouvriers mettent 6 jours, 24 ouvriers ne finiront pas en une journée, car ils se gêneraient.
Avant d’appliquer le calcul, demandez-vous si doubler une grandeur double vraiment, ou divise par deux, l’autre.
Bien poser le problème
Rangez toujours les valeurs de même nature dans la même colonne, avec les mêmes unités : les kilos sous les kilos, les euros sous les euros. C’est le moyen le plus sûr de ne pas inverser deux nombres, l’erreur la plus fréquente avec le produit en croix.