Taux d’évolution et coefficient multiplicateur
Hausse des prix, augmentation de salaire, baisse d’un indice boursier : les évolutions se mesurent presque toujours en pourcentage. Le calcul est simple, mais il réserve quelques pièges : une baisse de 20 % n’annule pas une hausse de 20 %, et une progression de 25 % en cinq ans ne fait pas 5 % par an. Ce calculateur donne le taux d’évolution, le coefficient multiplicateur, le taux réciproque, le taux moyen par période et l’effet d’évolutions successives, des notions au programme de première.
Les formules
- Taux d’évolution t = (valeur d’arrivée − valeur de départ) ÷ valeur de départ.
- Coefficient multiplicateur CM = valeur d’arrivée ÷ valeur de départ = 1 + t.
- Taux réciproque, pour revenir à la valeur de départ : t’ = 1 ÷ CM − 1.
- Taux moyen sur n périodes : t_m = CM^(1/n) − 1.
- Évolutions successives : on multiplie les coefficients, CM = (1 + t₁) × (1 + t₂) × (1 + t₃).
Exemple chiffré
Une valeur passe de 80 à 100 en 5 ans.
- Taux d’évolution : (100 − 80) ÷ 80 = +25 %.
- Coefficient multiplicateur : 100 ÷ 80 = 1,25.
- Taux réciproque : 1 ÷ 1,25 − 1 = −20 %. Il suffit d’une baisse de 20 % pour revenir de 100 à 80.
- Taux moyen annuel : 1,25^(1/5) − 1 = 4,564 % par an, et non 25 ÷ 5 = 5 %.
- Par ailleurs, une hausse de 10 % suivie d’une baisse de 10 % donne 1,10 × 0,90 = 0,99, soit −1 % au total.
Évolutions de 80 vers d’autres valeurs
| Valeur d’arrivée | Taux d’évolution | Coefficient | Taux réciproque |
|---|---|---|---|
| 40 | −50,00 % | 0,50 | +100,00 % |
| 60 | −25,00 % | 0,75 | +33,33 % |
| 80 | 0,00 % | 1,00 | 0,00 % |
| 100 | +25,00 % | 1,25 | −20,00 % |
| 120 | +50,00 % | 1,50 | −33,33 % |
| 160 | +100,00 % | 2,00 | −50,00 % |
La dernière colonne montre pourquoi une perte coûte plus cher qu’un gain ne rapporte : après une baisse de 50 %, il faut une hausse de 100 % pour revenir au point de départ.
Pourcentage ou point de pourcentage ?
Quand un taux lui-même varie, par exemple un taux de crédit qui passe de 3 % à 3,5 %, il augmente de 0,5 point, ce qui représente une hausse relative de 16,7 %. Les médias confondent souvent les deux. On parle de points pour l’écart entre deux pourcentages, et de pourcentage pour l’évolution relative.
Applications courantes
- Inflation : un panier passé de 250 € à 265 € a augmenté de 6 %.
- Salaire : passer de 2 100 € à 2 200 € nets représente une hausse de 4,76 %.
- Soldes : un article passé de 80 € à 60 € a baissé de 25 %, et le prix d’origine est 33,33 % plus élevé que le prix soldé.
- Taux de croissance annuel moyen : un chiffre d’affaires passé de 2 à 3 millions d’euros en 4 ans a progressé de 10,67 % par an en moyenne.
- Indices : avec une base 100, un indice à 112 signifie une hausse de 12 % depuis l’année de référence.
Retrouver une valeur de départ
Si un prix après une hausse de 20 % vaut 96 €, le prix initial n’est pas 96 − 20 % = 76,80 €, mais 96 ÷ 1,20 = 80 €. Diviser par le coefficient multiplicateur est la seule méthode correcte, et c’est ainsi qu’on retrouve un prix hors taxes à partir d’un prix TTC.
Les cas particuliers
Un taux d’évolution n’a pas de sens quand la valeur de départ est nulle, car on ne peut pas diviser par zéro. Avec une valeur de départ négative, par exemple une perte qui devient un bénéfice, le calcul est possible mais trompeur : mieux vaut alors donner la variation en valeur absolue.