Ce que vérifie le test
Le test du khi-deux d’indépendance vérifie si deux variables qualitatives sont liées. Sur un tableau 2 × 2, il compare deux groupes sur une réponse oui/non : une nouvelle page web convertit-elle mieux, les patients traités guérissent-ils plus souvent, hommes et femmes répondent-ils différemment à une question ?
Le tableau
| Oui | Non | |
|---|---|---|
| Groupe 1 | a | b |
| Groupe 2 | c | d |
Les formules
- χ² = N(ad − bc)² ÷ [(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)], avec N = a + b + c + d et 1 degré de liberté.
- Correction de Yates : on remplace (ad − bc)² par (|ad − bc| − N/2)².
- Valeur p : pour 1 degré de liberté, p = 2 × (1 − Φ(√χ²)), où Φ est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.
- Coefficient phi φ = (ad − bc) ÷ √[(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)].
Exemple chiffré
| Oui | Non | Total | |
|---|---|---|---|
| Groupe 1 | 30 | 20 | 50 |
| Groupe 2 | 15 | 35 | 50 |
- ad − bc = 30 × 35 − 20 × 15 = 1 050 − 300 = 750.
- Dénominateur : 50 × 50 × 45 × 55 = 6 187 500.
- χ² = 100 × 750² ÷ 6 187 500 ≈ 9,09.
- p ≈ 0,0026 : l’écart entre 60 % et 30 % de oui est significatif au seuil de 5 %.
- φ ≈ 0,30, une liaison moyenne.
- Avec la correction de Yates, χ² ≈ 7,92 et p ≈ 0,005.
Les effectifs théoriques
Le test compare les effectifs observés aux effectifs attendus sous l’hypothèse d’indépendance : effectif théorique = total de la ligne × total de la colonne ÷ N. Ici, le plus petit vaut 45 × 50 ÷ 100 = 22,5.
L’approximation du khi-deux n’est fiable que si tous les effectifs théoriques atteignent au moins 5. En dessous, utilisez le test exact de Fisher.
Valeurs critiques pour 1 degré de liberté
| Seuil | χ² critique |
|---|---|
| 10 % | 2,71 |
| 5 % | 3,84 |
| 1 % | 6,63 |
| 0,1 % | 10,83 |
Interpréter avec prudence
- Un résultat significatif montre une liaison, pas une causalité.
- Sur de très grands échantillons, des écarts minimes deviennent significatifs : rapportez aussi les proportions et le coefficient phi.
- Le test suppose des observations indépendantes, chaque personne comptée une seule fois. Pour des données appariées, avant et après sur les mêmes personnes, utilisez le test de McNemar.