Qu’est-ce qu’un tronc de cône ?
Coupez la pointe d’un cône par un plan parallèle à sa base : le morceau restant est un tronc de cône. Beaucoup d’objets du quotidien en sont : seaux, pots de fleurs, gobelets, abat-jour, entonnoirs, ou encore certaines bases de colonnes.
Les formules
Avec R le rayon du bas, r celui du haut et h la hauteur :
- Volume : V = π × h × (R² + R × r + r²) ÷ 3
- Génératrice : g = √(h² + (R − r)²)
- Surface latérale : A = π × (R + r) × g
- Surface totale : A + π × R² + π × r²
La formule du volume était connue des mathématiciens égyptiens : le papyrus de Moscou, vers 1850 av. J.-C., calcule de la même façon le volume d’un tronc de pyramide à base carrée.
Le calculateur demande des diamètres, plus faciles à mesurer, et les divise par deux.
Exemple
Un pot de fleurs de 20 cm de diamètre en bas, 30 cm en haut et 25 cm de hauteur (mesures intérieures) :
| Résultat | Valeur |
|---|---|
| Volume | 12,4 litres (12 435 cm³) |
| Génératrice | 25,50 cm |
| Surface latérale | 2 002 cm² |
| Surface totale | 3 023 cm² |
| Angle des parois avec la verticale | 11,3° |
La surface totale compte les deux disques ; pour un pot ouvert, retranchez le disque du haut (π × 15² ≈ 707 cm²).
Usages pratiques
- Jardinières et seaux : connaître la contenance en litres pour acheter la bonne quantité de terreau.
- Abat-jour et patrons de cône : la génératrice et les rayons définissent le patron à découper dans le tissu ou la tôle.
- Maçonnerie : les semelles tronconiques et certains coffrages de plots sont des troncs de cône.
- Gobelets et contenants : vérifier la contenance réelle d’un récipient.
Vérifications
Si les diamètres du haut et du bas sont égaux, le tronc de cône devient un cylindre et la formule redonne π × r² × h. Si le diamètre du haut est nul, c’est un cône complet : π × R² × h ÷ 3. Le raccourci qui multiplie la hauteur par la moyenne des surfaces du haut et du bas surestime le volume ; la vraie formule donne toujours un peu moins.