Toutes les mesures d’un cercle à partir d’une seule
Un cercle est entièrement défini par son rayon. Une fois celui-ci connu, on en déduit le diamètre, le périmètre, l’aire du disque, et même la longueur d’un arc ou l’aire d’une part. Ce calculateur part de la mesure dont vous disposez, rayon, diamètre, périmètre ou aire, et calcule toutes les autres.
Les formules
- Diamètre d = 2 × r.
- Périmètre P = 2 × π × r = π × d.
- Aire du disque A = π × r².
- Rayon à partir du périmètre r = P ÷ (2π), et à partir de l’aire r = √(A ÷ π).
- Pour un secteur d’angle θ en degrés : longueur de l’arc = P × θ ÷ 360, aire du secteur = A × θ ÷ 360 et corde = 2r × sin(θ ÷ 2).
π vaut environ 3,14159 ; le calculateur utilise sa valeur complète. Au collège, on donne souvent une valeur approchée au dixième ou au centième, en précisant qu’elle est arrondie.
Exemple chiffré : un moule à tarte de 24 cm
- Diamètre 24 cm, donc rayon 12 cm.
- Aire : π × 12² = π × 144 = 452,39 cm².
- Périmètre : π × 24 = 75,40 cm.
- Une part sur six est un secteur de 60° : arc de 12,57 cm, aire de 75,40 cm², et la coupe droite d’un bord à l’autre de la part, la corde, mesure 12 cm.
Aire selon le diamètre du moule
| Diamètre | Aire | Périmètre |
|---|---|---|
| 18 cm | 254,47 cm² | 56,55 cm |
| 20 cm | 314,16 cm² | 62,83 cm |
| 22 cm | 380,13 cm² | 69,12 cm |
| 24 cm | 452,39 cm² | 75,40 cm |
| 26 cm | 530,93 cm² | 81,68 cm |
| 28 cm | 615,75 cm² | 87,96 cm |
L’aire augmente avec le carré du diamètre : un moule de 28 cm n’est que 17 % plus large qu’un moule de 24 cm, mais sa surface est 36 % plus grande. Il faut donc 36 % de pâte en plus pour garder la même épaisseur.
Cercle ou disque ?
En mathématiques, le cercle est la ligne formée par tous les points situés à la même distance du centre : on mesure sa longueur, le périmètre. Le disque est la surface délimitée par le cercle : on mesure son aire. Dans la vie courante, on dit souvent « l’aire du cercle » pour l’aire du disque.
Applications pratiques
- Jardin : un massif rond de 3 m de diamètre couvre 7,07 m², ce qui permet d’estimer le paillage ou le terreau nécessaire.
- Bordure et clôture : la longueur à prévoir autour d’un espace circulaire est son périmètre.
- Tuyaux et gaines : la section d’un tuyau de 100 mm est 2,25 fois celle d’un tuyau de 66,7 mm, ce qui détermine le débit.
- Vélo : une roue de 70 cm de diamètre parcourt 2,20 m à chaque tour.
- Arbres : en mesurant le tour d’un tronc, on obtient son diamètre en divisant par π. Un tronc de 1,57 m de circonférence a 50 cm de diamètre.
Retrouver le rayon à partir de ce qu’on mesure
On ne peut pas toujours mesurer le diamètre directement, par exemple pour une colonne ou un tronc. On mesure alors le périmètre avec un mètre ruban et on divise par π. À partir d’une aire connue, on divise par π puis on prend la racine carrée : un disque de 100 cm² a un rayon de 5,64 cm.
Degrés et radians
Les formules du secteur utilisent ici les degrés. Au lycée, on mesure aussi les angles en radians : un tour complet vaut 2π radians au lieu de 360°, et la longueur de l’arc devient simplement r × θ. Un radian vaut environ 57,3°.