Ce que dit la loi de Benford
Dans beaucoup de données réelles (factures, populations de communes, longueurs de cours d’eau, cours de bourse, déclarations fiscales), le premier chiffre est bien plus souvent 1 que 9. La loi de Benford donne la part attendue de chaque premier chiffre d :
P(d) = log₁₀(1 + 1/d)
| Chiffre | Part attendue |
|---|---|
| 1 | 30,1 % |
| 2 | 17,6 % |
| 3 | 12,5 % |
| 4 | 9,7 % |
| 5 | 7,9 % |
| 6 | 6,7 % |
| 7 | 5,8 % |
| 8 | 5,1 % |
| 9 | 4,6 % |
Elle apparaît dans les données qui s’étendent sur plusieurs ordres de grandeur et résultent de processus multiplicatifs. Elle porte le nom du physicien Frank Benford (1938), mais avait été remarquée dès 1881 par l’astronome Simon Newcomb.
Pourquoi les auditeurs l’utilisent
Quand on invente des chiffres, on a tendance à répartir les premiers chiffres de façon égale, ou à rester juste sous un seuil de validation. Un jeu de données qui s’écarte de la loi de Benford peut signaler des erreurs, des doublons ou une fraude. Commissaires aux comptes, contrôleurs fiscaux et analystes l’utilisent comme outil de ciblage : une raison de regarder de plus près, jamais une preuve.
Lire les résultats
- MAD (écart absolu moyen) entre parts observées et attendues, avec les seuils de Mark Nigrini pour le premier chiffre : jusqu’à 0,006 conformité étroite, de 0,006 à 0,012 acceptable, de 0,012 à 0,015 marginale, au-delà non-conformité.
- Test du khi-deux à 8 degrés de liberté. Sur de gros volumes, il signale des écarts minimes et sans importance : c’est pourquoi les auditeurs lui préfèrent le MAD.
Exemple
1 000 montants de factures, dont les premiers chiffres se répartissent en 280, 190, 130, 95, 80, 70, 55, 52 et 48 :
- 28,0 % commencent par 1, contre 30,1 % attendus ; 4,8 % par 9, contre 4,6 % ;
- MAD ≈ 0,0058 : conformité étroite ;
- χ² ≈ 3,24, p ≈ 0,92 : pas d’écart significatif.
Quand la loi ne s’applique pas
- Nombres à plage fixe ou bornés : tailles, âges, pourcentages, notes sur 20.
- Numéros attribués : téléphones, codes postaux, numéros de facture ou de compte.
- Prix fixés par politique commerciale (9,99 €) ou montants plafonnés par une règle.
- Petits échantillons : en dessous d’environ 500 nombres, le test manque de puissance.
Aller plus loin
Les auditeurs testent aussi les deux premiers chiffres (90 catégories), le deuxième chiffre et les doublons, qui donnent des signaux plus fins. En pratique, une anomalie conduit à examiner les chiffres surreprésentés, par exemple de nombreuses notes de frais commençant par 4 juste sous un plafond de 500 €.