Qu’est-ce qu’un logarithme ?
Un logarithme répond à la question : « à quelle puissance faut-il élever la base pour obtenir ce nombre ? ». Comme 2³ = 8, le logarithme de 8 en base 2 vaut 3 : log₂(8) = 3. Les logarithmes transforment les produits en sommes et les puissances en produits. C’est pourquoi on les retrouve dans les décibels, la magnitude des séismes, le pH, les intérêts composés et l’analyse des algorithmes.
Les logarithmes usuels
- Logarithme népérien ln(x) : base e ≈ 2,71828, étudié en terminale, utilisé pour la croissance, la décroissance et l’analyse.
- Logarithme décimal log(x) : base 10, pour les ordres de grandeur, les décibels et le pH. En France, « log » sans précision désigne ce logarithme.
- Logarithme binaire log₂(x) : base 2, utilisé en informatique et en théorie de l’information.
Toute autre base se calcule avec la formule de changement de base : log_b(x) = ln(x) ÷ ln(b).
Exemple : x = 8, base 2
- log₂(8) = 3, car 2³ = 8.
- ln(8) = 2,079442.
- log(8) = 0,903090.
- Vérification par changement de base : 2,079442 ÷ ln(2) = 2,079442 ÷ 0,693147 = 3.
- Les opérations réciproques : 2⁸ = 256, e⁸ ≈ 2 980,96 et 10⁸ = 100 000 000.
Propriétés
- ln(a × b) = ln(a) + ln(b)
- ln(a ÷ b) = ln(a) − ln(b)
- ln(aⁿ) = n × ln(a)
- ln(1) = 0 et ln(e) = 1 ; de même log_b(1) = 0 et log_b(b) = 1
- Le logarithme n’est défini que pour un nombre strictement positif, et la base doit être positive et différente de 1.
Logarithmes des puissances de 2
| x | log₂ x | ln x | log x |
|---|---|---|---|
| 0,5 | −1 | −0,693 | −0,301 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 1 | 0,693 | 0,301 |
| 4 | 2 | 1,386 | 0,602 |
| 16 | 4 | 2,773 | 1,204 |
| 32 | 5 | 3,466 | 1,505 |
Applications pratiques
- Trouver une durée : un placement à 5 % par an double en ln(2) ÷ ln(1,05) = 14,2 ans.
- Décibels : un son 100 fois plus intense est plus fort de 10 × log(100) = 20 dB.
- pH : pH = −log de la concentration en ions H₃O⁺. Chaque unité correspond à un facteur 10 d’acidité.
- Informatique : une recherche dichotomique dans 1 000 000 d’éléments triés demande environ log₂(1 000 000) ≈ 20 étapes.
- Remonter au nombre : si log(x) = 2,5, alors x = 10^2,5 ≈ 316,2.