À quoi sert le test du khi-deux d’ajustement
Le test du khi-deux d’ajustement (ou d’adéquation) vérifie si des effectifs observés dans plusieurs catégories correspondent à une répartition attendue. Un dé est-il équilibré ? Les clients viennent-ils autant chaque jour de la semaine ? Des croisements génétiques suivent-ils les proportions 9:3:3:1 de Mendel ? Un échantillon de sondage respecte-t-il la pyramide des âges de l’Insee ? Dans chaque cas, on compare ce qu’on a compté à ce que prévoit une hypothèse.
La formule
χ² = Σ (O − E)² ÷ E
- O : effectif observé dans chaque catégorie ;
- E : effectif attendu (théorique) = N × proportion attendue.
Sous l’hypothèse nulle d’ajustement, χ² suit une loi du khi-deux à k − 1 − m degrés de liberté, où k est le nombre de catégories et m le nombre de paramètres estimés sur les données (0 si les proportions attendues sont fixées à l’avance).
Exemple
Un dé est lancé 60 fois et donne 5, 8, 9, 8, 10 et 20 pour les faces un à six. S’il est équilibré, chaque face est attendue 10 fois :
- χ² = (25 + 4 + 1 + 4 + 0 + 100) ÷ 10 = 13,4, avec 5 degrés de liberté ;
- p ≈ 0,020 : significatif au seuil de 5 % ; le χ² critique vaut 11,07 ;
- le w de Cohen vaut environ 0,47, un effet fort, dû surtout aux vingt six.
Proportions personnalisées
Choisissez « proportions personnalisées » et saisissez la part attendue de chaque catégorie, en pourcentage. Les parts sont remises à l’échelle si leur total ne fait pas exactement 100. Pour des proportions génétiques 9:3:3:1, saisissez 56,25, 18,75, 18,75 et 6,25.
Conditions d’application
- Les observations sont indépendantes, et chacune appartient à une seule catégorie.
- On travaille sur des effectifs, pas sur des pourcentages ni des moyennes.
- Les effectifs théoriques doivent atteindre 5 dans chaque catégorie (certains auteurs tolèrent quelques valeurs entre 1 et 5 si la plupart dépassent 5). Sinon, regroupez des catégories voisines ou utilisez un test multinomial exact.
Taille d’effet et interprétation
Avec de grands échantillons, des écarts minimes deviennent significatifs. Le w de Cohen = √(χ² ÷ N) aide à juger l’importance pratique : environ 0,1 est faible, 0,3 moyen et 0,5 fort. Pour repérer les catégories responsables, examinez les résidus standardisés (O − E) ÷ √E : au-delà de ±2 environ, ils signalent un écart marqué.
Tests voisins
- Pour savoir si deux variables qualitatives sont liées dans un tableau de contingence, on utilise le khi-deux d’indépendance, à (lignes − 1) × (colonnes − 1) degrés de liberté.
- Avec deux catégories, le test d’ajustement équivaut au test bilatéral d’une proportion.