La loi de Student
La loi de Student (ou loi t) décrit le rapport entre l’écart d’une moyenne à sa valeur théorique et son erreur type estimée. Elle ressemble à la loi normale centrée réduite, mais avec des queues plus épaisses, d’autant plus que le nombre de degrés de liberté est faible. Au-delà d’une centaine de degrés de liberté, elle se confond presque avec la loi normale. Elle doit son nom au pseudonyme « Student » de William Gosset, statisticien de la brasserie Guinness.
Ce que fait ce calculateur
- Valeur p : à partir d’une statistique t et de ses degrés de liberté, la probabilité d’obtenir une valeur au moins aussi extrême, en bilatéral ou en unilatéral.
- t critique : le quantile qui remplace les tables de Student, pour un seuil α donné.
- Probabilité cumulée P(T ≤ t) et densité en t.
- La valeur critique de la loi normale, pour comparaison.
Exemple
Un test donne t = 2,1 avec 15 degrés de liberté :
- valeur p bilatérale ≈ 0,053, juste au-dessus de 0,05 ;
- t critique à 5 % en bilatéral : 2,131 ;
- la loi normale donnerait 1,96 : l’écart montre combien la loi de Student s’élargit avec peu de degrés de liberté.
Quelques valeurs critiques à 5 % en bilatéral
| ddl | t critique |
|---|---|
| 5 | 2,571 |
| 10 | 2,228 |
| 20 | 2,086 |
| 30 | 2,042 |
| 100 | 1,984 |
| ∞ | 1,960 |
Où intervient-elle ?
- Tests t à un ou deux échantillons, et test apparié.
- Intervalles de confiance d’une moyenne quand l’écart-type de la population est inconnu : x̄ ± t × s ÷ √n.
- Tests sur les coefficients d’une régression linéaire et sur un coefficient de corrélation.
Calcul
La fonction de répartition s’exprime à l’aide de la fonction bêta incomplète régularisée : pour t ≥ 0, P(T ≤ t) = 1 − ½ I(ν ÷ (ν + t²) ; ν/2, ½). Le calculateur évalue cette fonction par fraction continue puis inverse la relation par dichotomie pour obtenir les valeurs critiques, avec une précision bien supérieure à celle des tables imprimées des manuels de BTS ou de licence.