À quoi sert le test t de Student à deux échantillons
Le test t compare les moyennes de deux groupes indépendants et indique si leur écart dépasse ce que le simple hasard de l’échantillonnage pourrait produire. Il suffit de connaître, pour chaque groupe, la moyenne, l’écart-type et l’effectif : c’est pratique pour vérifier un résultat publié dans un article, un rapport de TP ou un mémoire, sans disposer des données brutes.
Les formules
Test de Welch (choix par défaut, il ne suppose pas l’égalité des variances) :
t = (x̄₁ − x̄₂) ÷ √(s₁²/n₁ + s₂²/n₂)
avec les degrés de liberté de Welch–Satterthwaite :
ddl = (s₁²/n₁ + s₂²/n₂)² ÷ [(s₁²/n₁)²/(n₁ − 1) + (s₂²/n₂)²/(n₂ − 1)]
Test de Student classique : on suppose les variances égales, on calcule une variance commune et l’on prend ddl = n₁ + n₂ − 2.
La valeur p est lue sur la loi de Student à ces degrés de liberté.
Exemple
Groupe 1 : moyenne 75, écart-type 10, n = 30. Groupe 2 : moyenne 70, écart-type 12, n = 32.
- erreur type : √(100/30 + 144/32) ≈ 2,80 ;
- t = 5 ÷ 2,80 ≈ 1,79, avec environ 59,2 degrés de liberté ;
- valeur p bilatérale ≈ 0,079 : non significatif au seuil de 5 % ;
- intervalle de confiance à 95 % de la différence : de −0,6 à 10,6 environ, il contient 0 ;
- d de Cohen ≈ 0,45 : effet faible à moyen.
Lire le résultat
- p inférieure à α : la différence est statistiquement significative, on rejette l’hypothèse nulle d’égalité des moyennes.
- p supérieure ou égale à α : les données sont compatibles avec une absence de différence. Cela ne prouve pas que les moyennes sont égales ; l’étude manque peut-être simplement de puissance.
- L’intervalle de confiance renseigne sur l’ampleur plausible de l’écart, information souvent plus utile que la seule valeur p.
Unilatéral ou bilatéral ?
Choisissez un test bilatéral, sauf si vous aviez décidé avant de voir les données qu’un seul sens comptait. Un test unilatéral divise la valeur p par deux : le choisir après coup augmente le risque de faux positif.
Conditions d’application
- Les deux groupes sont indépendants. Pour des mesures avant/après sur les mêmes sujets, utilisez le test t apparié (un échantillon, sur les différences).
- Les valeurs de chaque groupe suivent à peu près une loi normale, ou les effectifs sont assez grands (souvent 30 par groupe) pour que le théorème central limite s’applique.
- Pour la version de Student, les variances sont proches ; le test F d’égalité des variances permet de le vérifier, mais le test de Welch fonctionne bien dans tous les cas.
Pour des données très asymétriques ou de petits effectifs, un test non paramétrique comme celui de Mann-Whitney est une alternative.