À quoi sert le test t à un échantillon
Le test t à un échantillon vérifie si la moyenne d’un échantillon s’écarte significativement d’une valeur de référence μ₀ : poids annoncé sur un emballage, valeur cible d’un procédé, norme réglementaire. Le même calcul sert au test t apparié : on travaille alors sur les différences « après − avant » de chaque sujet et l’on prend μ₀ = 0.
La formule
t = (x̄ − μ₀) ÷ (s ÷ √n), avec n − 1 degrés de liberté.
- x̄ : moyenne de l’échantillon (ou des différences) ;
- s : écart-type de l’échantillon ;
- s ÷ √n : erreur type de la moyenne.
L’intervalle de confiance de la moyenne vaut x̄ ± t critique × s ÷ √n, et la taille d’effet d de Cohen vaut (x̄ − μ₀) ÷ s.
Exemple
Une ensacheuse doit délivrer 100 g. Un échantillon de 25 sachets donne une moyenne de 103 g et un écart-type de 12 g :
- erreur type : 12 ÷ 5 = 2,4 g ;
- t = 3 ÷ 2,4 = 1,25 avec 24 degrés de liberté ;
- valeur p bilatérale ≈ 0,22 : non significatif au seuil de 5 % ;
- intervalle de confiance à 95 % : 103 ± 2,064 × 2,4, soit environ 98,0 à 108,0 g, qui contient 100.
On ne peut donc pas conclure à un déréglage de la machine avec ces données.
Données appariées
Pour comparer deux mesures sur les mêmes individus (tension avant et après traitement, note au premier et au second devoir), calculez la différence pour chaque paire, puis saisissez la moyenne et l’écart-type de ces différences, le nombre de paires et μ₀ = 0. Ce test est bien plus puissant qu’un test à deux échantillons indépendants, car il élimine la variabilité entre individus.
Conditions d’application
- Les observations sont indépendantes les unes des autres.
- Les valeurs (ou les différences) suivent à peu près une loi normale ; au-delà d’une trentaine d’observations, le test reste robuste à un écart modéré.
- Avec un très petit échantillon et des valeurs aberrantes, préférez le test des rangs signés de Wilcoxon.
Bilatéral ou unilatéral ?
Le test bilatéral répond à la question « la moyenne est-elle différente de μ₀ ? ». Le test unilatéral répond à « est-elle supérieure (ou inférieure) ? » ; il n’est légitime que si le sens était fixé avant de recueillir les données, par exemple pour contrôler qu’un produit ne contient pas moins que la quantité annoncée.