La loi du khi-deux
La loi du khi-deux (χ²) à k degrés de liberté est la loi de la somme des carrés de k variables normales centrées réduites indépendantes. Toujours positive et asymétrique vers la droite, elle a pour espérance k et pour variance 2k. Elle sert de référence aux tests du khi-deux et à l’intervalle de confiance d’une variance.
Ce que fait ce calculateur
- Valeur p : probabilité P(χ² ≥ x), la queue droite utilisée par les tests du khi-deux.
- Valeur critique au seuil α : elle remplace la table du khi-deux.
- Probabilité cumulée P(χ² ≤ x), densité, espérance et écart-type de la loi.
Exemple
Un test d’ajustement donne χ² = 12,5 avec 6 degrés de liberté :
- p ≈ 0,052, juste au-dessus de 0,05 ;
- la valeur critique à 5 % vaut 12,592 : la statistique la frôle sans la dépasser.
On ne rejette donc pas, de justesse, l’hypothèse d’ajustement.
Comment trouver les degrés de liberté ?
- Test d’ajustement (adéquation à une loi) : nombre de classes − 1 − nombre de paramètres estimés sur les données.
- Test d’indépendance sur un tableau de contingence : (lignes − 1) × (colonnes − 1).
- Intervalle de confiance d’une variance : n − 1, avec les bornes (n − 1)s² ÷ χ²₁₋α/₂ et (n − 1)s² ÷ χ²α/₂.
Quelques valeurs critiques à 5 %
| ddl | χ² critique |
|---|---|
| 1 | 3,841 |
| 2 | 5,991 |
| 3 | 7,815 |
| 5 | 11,070 |
| 10 | 18,307 |
| 20 | 31,410 |
Précautions
Les tests du khi-deux reposent sur une approximation valable si les effectifs théoriques de chaque case sont suffisants, en général au moins 5. Sinon, regroupez des classes ou utilisez le test exact de Fisher pour un tableau 2 × 2. Une valeur p très proche de 1 peut aussi signaler un ajustement « trop parfait », parfois révélateur de données arrangées.
Calcul
La fonction de répartition est la fonction gamma incomplète régularisée P(k/2, x/2), évaluée par série ou par fraction continue selon la zone, et les valeurs critiques sont obtenues par inversion numérique.