À quoi sert l’ANOVA à un facteur
L’analyse de la variance (ANOVA) à un facteur teste si les moyennes de trois groupes ou plus sont toutes égales. Elle évite de multiplier les tests t deux à deux, ce qui gonflerait le risque de faux positif : avec quatre groupes, six comparaisons au seuil de 5 % donnent près de 26 % de chances de trouver au moins une différence « significative » par hasard. Ce calculateur part des moyennes, écarts-types et effectifs de chaque groupe, sans les données brutes.
Les formules
- Moyenne générale : x̄ = Σ nᵢ x̄ᵢ ÷ N.
- Somme des carrés inter-groupes : SCE_inter = Σ nᵢ (x̄ᵢ − x̄)², avec k − 1 degrés de liberté.
- Somme des carrés intra-groupe : SCE_intra = Σ (nᵢ − 1) sᵢ², avec N − k degrés de liberté.
- F = (SCE_inter ÷ (k − 1)) ÷ (SCE_intra ÷ (N − k)).
La valeur p est la probabilité de dépasser F sous la loi de Fisher-Snedecor. L’êta carré η² = SCE_inter ÷ (SCE_inter + SCE_intra) mesure la part de variance expliquée par le facteur.
Exemple
Trois groupes de 10 sujets, de moyennes 20, 23 et 25 et d’écarts-types 4, 5 et 4,5 :
- moyenne générale : 22,67 ;
- SCE_inter = 126,7 avec 2 degrés de liberté ;
- SCE_intra = 551,25 avec 27 degrés de liberté ;
- F = 63,3 ÷ 20,4 ≈ 3,10, p ≈ 0,061 : non significatif au seuil de 5 % ;
- η² ≈ 0,19 : le facteur explique environ 19 % de la variance.
Lire le résultat
Un F significatif indique qu’au moins une moyenne diffère des autres, sans dire laquelle. Il faut ensuite des comparaisons post hoc (Tukey, Bonferroni) pour localiser les écarts. Un F non significatif, comme dans l’exemple, ne prouve pas l’égalité des moyennes : avec dix sujets par groupe, la puissance est limitée.
Conditions d’application
- Groupes indépendants, observations indépendantes.
- Distribution à peu près normale dans chaque groupe.
- Variances homogènes : en règle pratique, le plus grand écart-type ne dépasse pas deux fois le plus petit. Sinon, l’ANOVA de Welch ou le test non paramétrique de Kruskal-Wallis sont plus sûrs.
Pour seulement deux groupes, l’ANOVA donne exactement le même résultat que le test t de Student : F = t².