Le point d’équilibre d’un système
Tout objet, ou tout ensemble d’objets, possède un point qui se comporte comme si toute la masse y était concentrée : le centre de masse. Poussez sur ce point et le système se déplace sans tourner ; suspendez-le par ce point et il reste en équilibre. Dans un champ de pesanteur uniforme, ce qui est le cas à la surface de la Terre, il se confond avec le centre de gravité. En mathématiques, on parle de barycentre, une notion étudiée dès le lycée.
La formule
Pour des masses ponctuelles m₁, m₂, … placées en (x₁, y₁), (x₂, y₂), … :
- x = (m₁x₁ + m₂x₂ + …) ÷ (m₁ + m₂ + …)
- y = (m₁y₁ + m₂y₂ + …) ÷ (m₁ + m₂ + …)
Chaque coordonnée est la moyenne des positions pondérée par les masses. Une masse plus lourde attire le centre de masse vers elle.
Exemple
Trois masses sont placées dans un plan :
| Masse | Position |
|---|---|
| 2 | (0 ; 0) |
| 3 | (4 ; 0) |
| 5 | (2 ; 3) |
- Masse totale : 2 + 3 + 5 = 10.
- x = (2 × 0 + 3 × 4 + 5 × 2) ÷ 10 = 22 ÷ 10 = 2,2.
- y = (2 × 0 + 3 × 0 + 5 × 3) ÷ 10 = 15 ÷ 10 = 1,5.
- Distance à l’origine : √(2,2² + 1,5²) = 2,66.
Le centre de masse (2,2 ; 1,5) est attiré vers la masse la plus lourde, en (2 ; 3), mais reste à l’intérieur du triangle formé par les trois masses.
Les unités
Utilisez n’importe quelle unité de masse et de longueur, pourvu qu’elles soient les mêmes partout. Des kilogrammes ou des grammes donnent le même résultat, car seuls les rapports entre masses comptent. Vous pouvez même compter des objets : trois cartons identiques empilés au même endroit valent une masse de 3.
Où s’en sert-on ?
- Chargement des véhicules : le centre de gravité d’un camion, d’une remorque ou d’un bateau chargé doit rester dans certaines limites pour la stabilité. Les avions sont pesés et centrés avant chaque vol.
- Balançoires et mobiles : l’ensemble est en équilibre quand le pivot est à l’aplomb du centre de masse.
- Robotique et sport : un robot qui marche ou un gymnaste reste debout tant que son centre de masse est au-dessus de sa base d’appui.
- Astronomie : la Terre et la Lune tournent toutes deux autour de leur centre de masse commun, situé à environ 4 700 km du centre de la Terre, donc à l’intérieur du globe.
Objets étendus
Pour un objet réel, découpez-le par la pensée en petits morceaux, chacun avec sa masse placée en son propre centre, et appliquez la même formule. Pour une forme homogène et symétrique, le centre de masse est au centre géométrique : milieu d’une tige, centre d’un disque ou d’une sphère. Pour un polygone plat homogène, c’est le centre de gravité de la surface, que donne directement le calculateur d’aire de polygone. Pour assembler plusieurs formes, saisissez ici la masse de chacune en son centre.
En trois dimensions
Ajoutez une coordonnée z et appliquez la même moyenne pondérée : z = Σ(m × z) ÷ Σm. Le calcul se fait indépendamment sur chaque axe.