De la forme d’une lentille à sa distance focale
La distance focale d’une lentille dépend de deux choses : la courbure de ses faces et la façon dont le matériau ralentit la lumière. La formule des opticiens (en anglais lensmaker’s equation) relie les deux. Les opticiens et concepteurs de systèmes optiques s’en servent pour choisir les rayons de courbure qui donnent une vergence voulue.
La formule
Pour une lentille d’épaisseur e placée dans un milieu :
1/f = (n − 1) × [1/R₁ − 1/R₂ + (n − 1) e ÷ (n R₁ R₂)]
- n est l’indice de la lentille divisé par celui du milieu qui l’entoure (1,0 pour l’air).
- R₁ et R₂ sont les rayons de courbure de la première et de la seconde face.
- e est l’épaisseur au centre.
Pour une lentille mince, e est petit et le dernier terme disparaît : 1/f = (n − 1)(1/R₁ − 1/R₂).
La vergence, en dioptries, est l’indice du milieu divisé par la distance focale en mètres. C’est l’unité des ordonnances de lunettes.
Convention de signes
La lumière allant de gauche à droite, un rayon est positif si son centre de courbure est à droite de la face, négatif s’il est à gauche. Une face plane a un rayon infini : saisissez 0 et le calculateur la traite comme plane. Une focale positive indique une lentille convergente, une focale négative une lentille divergente.
Exemple chiffré
Une lentille biconvexe symétrique d’indice 1,5, avec R₁ = +100 mm, R₂ = −100 mm et une épaisseur au centre de 5 mm, dans l’air :
- Focale en lentille mince : 1 ÷ [0,5 × (0,01 + 0,01)] = 100 mm.
- Avec le terme d’épaisseur, la focale devient 100,84 mm.
- Vergence : 1 ÷ 0,10084 m = 9,92 dioptries.
Pour la plupart des verres de lunettes et des loupes, la valeur en lentille mince suffit. Les lentilles épaisses, comme les lentilles boules ou les objectifs de microscope, demandent la formule complète.
L’indice compte
À forme égale, un matériau d’indice plus élevé dévie davantage la lumière. Le verre crown est autour de 1,52, le polycarbonate à 1,59 et les verres organiques amincis montent jusqu’à 1,74. C’est pourquoi un opticien propose des verres « amincis » pour les fortes corrections : ils sont plus fins et plus légers.
Le milieu extérieur compte aussi. Plongez la lentille de l’exemple dans l’eau (indice 1,33) : l’indice relatif tombe à environ 1,13 et la focale passe à près de 400 mm, quatre fois plus que dans l’air. C’est pourquoi la vue se brouille sous l’eau, et pourquoi un masque de plongée, qui garde une couche d’air devant les yeux, rend une vision nette.
La formule suppose des rayons proches de l’axe. Les vraies lentilles présentent aussi des aberrations, que les opticiens corrigent en associant plusieurs lentilles.