La relation de conjugaison
Pour une lentille mince, la distance de l’objet, la distance de l’image et la distance focale sont liées par :
1/f = 1/dₒ + 1/dᵢ
D’où la distance de l’image : dᵢ = f × dₒ ÷ (dₒ − f).
Le grandissement vaut γ = −dᵢ ÷ dₒ, et la taille de l’image est γ × taille de l’objet.
Conventions de signe
Le calculateur utilise la convention « réel positif » :
- f est positive pour une lentille convergente, négative pour une lentille divergente.
- dₒ est positive pour un objet réel placé devant la lentille.
- dᵢ est positive pour une image réelle derrière la lentille, négative pour une image virtuelle du côté de l’objet.
- γ négatif signifie une image renversée, positif une image droite.
En France, au lycée, on écrit plutôt la relation avec des distances algébriques mesurées depuis le centre optique O : 1/OA’ − 1/OA = 1/OF’, où OA est négative pour un objet réel. Les deux écritures donnent les mêmes résultats.
Exemple
Un objet de 2 cm est placé à 30 cm devant une lentille convergente de 10 cm de distance focale.
- Distance de l’image : 10 × 30 ÷ (30 − 10) = 15 cm, une image réelle derrière la lentille.
- Grandissement : −15 ÷ 30 = −0,5 : image renversée, deux fois plus petite.
- Taille de l’image : −0,5 × 2 = −1 cm.
- Vergence : 1 ÷ 0,10 m = 10 dioptries.
Position de l’image avec une lentille convergente
| Position de l’objet | Image | Exemple |
|---|---|---|
| au-delà de 2f | réelle, renversée, plus petite | appareil photo, œil |
| à 2f | réelle, renversée, même taille | photocopieur |
| entre f et 2f | réelle, renversée, plus grande | projecteur |
| au foyer | à l’infini | phare |
| entre le foyer et la lentille | virtuelle, droite, agrandie | loupe |
Une lentille divergente donne toujours une image virtuelle, droite et plus petite, comme les verres correcteurs de la myopie.
Vergence et lunettes
La vergence en dioptries vaut 1 ÷ f, avec f en mètres. Une correction de −2,00 δ correspond à une lentille divergente de −50 cm de focale. Pour des lentilles minces accolées, les vergences s’additionnent, ce qui rend l’unité pratique pour les opticiens.
Limites
La relation suppose une lentille très mince devant sa distance focale et des rayons proches de l’axe optique (conditions de Gauss). Les objectifs réels comportent plusieurs lentilles et des aberrations.