La rigidité en un seul chiffre
Tirez sur une barre d’acier : elle s’allonge, très peu. Tirez deux fois plus fort, elle s’allonge deux fois plus, tant que vous restez sous la limite d’élasticité. Le rapport entre l’effort par unité de surface et l’allongement par unité de longueur est une propriété du matériau lui-même : le module de Young, ou module d’élasticité longitudinale. Le savant anglais Thomas Young l’a décrit en 1807, et c’est la première valeur que l’on cherche pour dimensionner une poutre, un câble ou un ressort.
Les formules
- Contrainte σ = F ÷ S, la force divisée par la section. Pour une barre ronde, S = π × d² ÷ 4.
- Déformation ε = ΔL ÷ L, l’allongement divisé par la longueur initiale. Elle est sans unité, souvent exprimée en pour cent ou en microdéformations (µε, millionièmes).
- Module de Young E = σ ÷ ε.
Exemple
Une barre d’acier de 12 mm de diamètre et de 2 m de long est tendue par une force de 20 kN et s’allonge de 1,77 mm :
- Section : π × 12² ÷ 4 = 113,10 mm².
- Contrainte : 20 000 ÷ 113,10 = 176,84 MPa (N/mm²).
- Déformation : 1,77 ÷ 2 000 = 0,000885, soit 0,0885 % ou 885 µε.
- Module de Young : 176,84 ÷ 0,000885 = environ 199,8 GPa, la valeur attendue pour un acier.
Valeurs courantes
| Matériau | E (GPa) |
|---|---|
| Caoutchouc | 0,001 à 0,1 |
| Nylon, PVC | 2 à 4 |
| Bois, sens des fibres | 9 à 16 |
| Béton courant | 30 à 35 |
| Aluminium | 69 |
| Cuivre | 117 |
| Titane | 110 |
| Acier | 190 à 210 |
| Tungstène | 400 |
Pour le calcul des charpentes métalliques, l’Eurocode 3 retient E = 210 000 MPa pour l’acier de construction. Pour le béton, l’Eurocode 2 donne un module qui dépend de la classe de résistance, par exemple environ 33 GPa pour un C30/37.
Rigide ne veut pas dire résistant
Le module de Young dit de combien une pièce se déforme, pas quand elle casse. Presque tous les aciers ont le même module, qu’il s’agisse d’un acier doux S235 ou d’un acier à haute limite élastique, alors que leurs résistances varient du simple au quadruple. Voilà pourquoi passer à un acier plus résistant ne réduit pas la flèche d’une poutre : seul un profil plus haut ou un matériau plus rigide y parvient.
Pour une mesure fiable
- Restez dans le domaine élastique : la barre doit retrouver sa longueur une fois déchargée.
- Mesurez l’allongement sur l’éprouvette elle-même, avec un comparateur ou un extensomètre. Le déplacement de la traverse d’une machine inclut le jeu des mors.
- Faites plusieurs paliers de charge et prenez la pente de la droite contrainte–déformation plutôt qu’un seul point.
- Utilisez le diamètre et la longueur initiaux, et non ceux mesurés sous charge.