Qu’est-ce que la flèche
Toute poutre fléchit sous la charge. La flèche est la déformation maximale, au milieu de la portée. Une poutre peut être assez résistante pour ne pas rompre et pourtant trop souple : plancher qui vibre, carrelage qui se fissure, cloisons qui se lézardent, portes qui frottent. Les règles de calcul limitent donc la flèche à une fraction de la portée, par exemple L/300. Le calculateur estime la flèche d’une poutre rectangulaire sur deux appuis sous charge uniformément répartie, la compare à la limite choisie et donne la contrainte de flexion.
Les formules
Pour une poutre sur deux appuis simples, de portée L, sous une charge répartie q :
- Flèche maximale = 5 × q × L⁴ ÷ (384 × E × I)
- Moment d’inertie d’un rectangle : I = b × h³ ÷ 12
- Moment fléchissant maximal = q × L² ÷ 8
- Contrainte de flexion = moment ÷ (b × h² ÷ 6)
E est le module d’élasticité moyen : 11 000 MPa pour un bois massif C24, 9 000 MPa pour un C18, 11 500 MPa pour un lamellé-collé GL24h, 210 000 MPa pour l’acier.
Exemple chiffré : une solive de plancher
Une solive en C24 de 75 × 225 mm franchit 4 m et reprend 150 daN/m (1,5 kN/m), soit par exemple 150 daN/m² de charge d’exploitation et 50 daN/m² de charges permanentes sur 75 cm d’entraxe.
- I = 75 × 225³ ÷ 12 = 71 191 406 mm⁴, soit 7 119 cm⁴.
- Flèche = 5 × 1,5 × 4 000⁴ ÷ (384 × 11 000 × 71 191 406) = 6,4 mm, soit L/626.
- Limite L/300 : 4 000 ÷ 300 = 13,3 mm : la solive est largement dans la limite.
- Moment : 1,5 × 4² ÷ 8 = 3,0 kN·m ; contrainte : 4,7 MPa, bien en dessous de la résistance caractéristique de 24 MPa d’un C24, ramenée à environ 15 MPa par les coefficients de sécurité pour une charge de moyenne durée.
La portée et la hauteur dominent
La flèche augmente avec la puissance quatre de la portée. Pour la même solive et la même charge :
| Portée | Flèche | Rapport |
|---|---|---|
| 3,0 m | 2,0 mm | L/1 485 |
| 3,5 m | 3,7 mm | L/935 |
| 4,0 m | 6,4 mm | L/626 |
| 4,5 m | 10,2 mm | L/440 |
| 5,0 m | 15,6 mm | L/321 |
Passer de 225 à 250 mm de hauteur réduit la flèche d’environ 27 %, car la rigidité croît avec le cube de la hauteur.
Limites de ce calcul
L’Eurocode 5 (NF EN 1995) et son annexe nationale fixent les limites selon l’usage : de l’ordre de L/300 pour un plancher courant, plus sévères (L/500) sous des cloisons fragiles ou un carrelage, et des vérifications de flèche à long terme qui tiennent compte du fluage du bois. Ce calcul simple ignore le poids propre, les charges ponctuelles, les porte-à-faux, le cisaillement, les entailles et les combinaisons de charges. Servez-vous-en pour comparer des sections ; pour toute modification de structure, faites appel à un bureau d’études ou à un charpentier.