Chaque rebond coûte de l’énergie
Lâchez une balle : elle ne remonte jamais tout à fait à sa hauteur de départ. Une partie de son énergie se transforme en chaleur, en son et en déformation de la balle et du sol. Le coefficient de restitution, noté e, mesure la part de vitesse conservée à chaque choc : e = vitesse après ÷ vitesse avant. Comme la hauteur dépend du carré de la vitesse, chaque rebond atteint e² fois la hauteur précédente.
Les formules
Pour une balle lâchée d’une hauteur h₀ :
- Hauteur après le rebond n : h₀ × e²ⁿ.
- Vitesse au premier impact : √(2 g h₀).
- Distance totale jusqu’à l’arrêt : h₀ × (1 + e²) ÷ (1 − e²).
- Durée totale jusqu’à l’arrêt : √(2h₀ ÷ g) × (1 + e) ÷ (1 − e).
- Énergie perdue à chaque rebond : 1 − e² de l’énergie avant le choc.
En théorie, le nombre de rebonds est infini, mais la distance et la durée totales sont finies, car les rebonds diminuent selon une suite géométrique, comme on l’étudie en terminale.
Exemple
Un ballon de basket, e ≈ 0,846, lâché de 1,80 m :
- Après le premier rebond : 1,8 × 0,846² = 1,29 m.
- Après le troisième rebond : 0,66 m.
- Vitesse au premier impact : 5,9 m/s, soit environ 21,4 km/h.
- Distance totale parcourue : environ 10,9 m.
- Durée totale avant l’arrêt : environ 7,3 secondes.
- Énergie perdue à chaque rebond : 28,4 %.
- Environ 14 rebonds avant de passer sous 1 % de la hauteur initiale.
Coefficients courants
| Balle, sur sol dur | Coefficient de restitution |
|---|---|
| Balle rebondissante en caoutchouc | environ 0,9 |
| Balle de tennis de table | environ 0,87 |
| Ballon de basket | environ 0,82 à 0,87 |
| Balle de tennis | environ 0,73 à 0,76 |
| Balle de baseball | environ 0,5 à 0,55 |
| Boule de pâte à modeler | proche de 0 |
Les règlements sportifs fixent souvent le rebond. Une balle de tennis lâchée de 254 cm doit rebondir entre 135 et 147 cm. Une balle de tennis de table lâchée de 30,5 cm doit remonter à environ 23 cm.
Mesurer e soi-même
Lâchez la balle d’une hauteur mesurée sur la surface qui vous intéresse et filmez le rebond à côté d’un mètre ruban. Alors e = √(hauteur du rebond ÷ hauteur de chute). Recommencez plusieurs fois et faites la moyenne. On peut aussi chronométrer les rebonds au son : l’intervalle entre deux rebonds diminue d’un facteur e à chaque fois. C’est une expérience classique en TP de physique.
Ce que le modèle néglige
Les formules supposent un coefficient constant et ignorent la résistance de l’air, ce qui convient pour des balles lourdes et de petites hauteurs. En réalité, e diminue légèrement quand la vitesse d’impact augmente, une balle légère comme celle de tennis de table est sensiblement freinée par l’air, et l’effet peut dévier chaque rebond. La température compte aussi : une balle de squash froide rebondit à peine, d’où l’échauffement de la balle avant chaque match.