L’oscillateur le plus simple
Accrochez une masse à un ressort, tirez-la vers le bas et lâchez-la : elle monte et descend à un rythme régulier. Ce système masse-ressort, étudié en terminale et en classes préparatoires, est le modèle de base des vibrations en physique et en ingénierie. Suspensions de voiture, plots de machine à laver, isolateurs de bâtiments, sismomètres et même atomes d’un cristal s’analysent de la même façon.
Les formules
Pour une masse m au bout d’un ressort de raideur k, sans frottement :
- Pulsation propre : ω₀ = √(k ÷ m)
- Période propre : T₀ = 2π√(m ÷ k)
- Fréquence propre : f₀ = 1 ÷ T₀
Pour une oscillation d’amplitude A :
- Vitesse maximale = A × ω₀, au passage par la position d’équilibre
- Accélération maximale = A × ω₀², aux extrémités
- Énergie mécanique = ½ × k × A², échangée en permanence entre énergie potentielle élastique et énergie cinétique
Sous l’effet de la pesanteur, un ressort vertical s’allonge aussi de δ = m × g ÷ k, sans que la période change.
Exemple
Une masse de 5 kg suspendue à un ressort de raideur 2 000 N/m, écartée de 2 cm :
- Allongement statique : 2,45 cm
- Fréquence propre : 3,18 Hz, soit une période de 0,314 s
- Vitesse maximale : 0,40 m/s
- Accélération maximale : 0,82 g
- Énergie : 0,40 J
Un raccourci utile
Comme ω₀² = k ÷ m = g ÷ δ, la fréquence propre ne dépend que de l’enfoncement sous la charge : f₀ ≈ 15,76 ÷ √δ avec δ en millimètres. Une voiture dont la suspension s’enfonce d’environ 10 cm sous son poids oscille vers 1,6 Hz, une fréquence jugée confortable. Une sportive à suspension ferme oscille plutôt vers 2,5 à 3 Hz.
Résonance et isolation
Quand une excitation secoue le système à une fréquence proche de sa fréquence propre, l’amplitude augmente fortement : c’est la résonance. Pour isoler une machine du sol, on choisit des plots antivibratiles dont la fréquence propre est nettement inférieure à celle de la vibration. L’isolation ne commence que lorsque la fréquence d’excitation dépasse √2, soit environ 1,4 fois la fréquence propre, et l’on vise en pratique un rapport de 3 ou plus.
Limites
Un vrai ressort a une masse : ajoutez environ un tiers de la masse du ressort à m pour une meilleure estimation. Les frottements font décroître les oscillations, et un allongement trop grand sort le ressort de son domaine linéaire, où la loi de Hooke ne s’applique plus.