El teorema más famoso de la geometría
El teorema de Pitágoras relaciona los tres lados de un triángulo rectángulo. Sirve en clase, pero también para calcular la diagonal de una pantalla, la longitud de una escalera apoyada en una pared, la pendiente de un tejado o para comprobar que un muro forma una escuadra perfecta. La calculadora tiene tres modos: hallar la hipotenusa, hallar un cateto o comprobar si un triángulo es rectángulo. En todos los casos obtienes también los ángulos agudos, el área, el perímetro y la altura sobre la hipotenusa.
Las fórmulas
Hipotenusa: c = √(a² + b²)
Cateto: b = √(c² − a²)
Ángulo opuesto a a: α = arctan(a ÷ b), y el otro ángulo agudo vale 90° − α.
Área = a × b ÷ 2 y altura sobre la hipotenusa = a × b ÷ c
Ejemplo resuelto: el triángulo 6-8-10
- Catetos: a = 6 cm y b = 8 cm.
- Cuadrados: 6² = 36 y 8² = 64. Suma: 100.
- Hipotenusa: √100 = 10 cm.
- Ángulos: arctan(6 ÷ 8) = 36,87° y 90° − 36,87° = 53,13°.
- Área: 6 × 8 ÷ 2 = 24 cm². Perímetro: 6 + 8 + 10 = 24 cm.
- Altura sobre la hipotenusa: 6 × 8 ÷ 10 = 4,8 cm.
Ternas pitagóricas útiles
| a | b | c | Uso habitual |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | Replanteo de escuadras en obra |
| 5 | 12 | 13 | Pendientes y rampas |
| 6 | 8 | 10 | Versión ampliada del 3-4-5 |
| 8 | 15 | 17 | Problemas de examen |
| 20 | 21 | 29 | Comprobaciones de grandes superficies |
Cualquier múltiplo de una terna también lo es: 9, 12 y 15 funcionan igual que 3, 4 y 5.
Aplicaciones prácticas
- Pantallas: un televisor de 16:9 con 121 cm de ancho y 68 cm de alto tiene una diagonal de unos 139 cm, es decir, 55 pulgadas.
- Escaleras de mano: apoyada a 1 m de la pared y llegando a 4 m de altura, la escalera debe medir √(1 + 16) = 4,12 m.
- Tejados y rampas: la longitud del faldón es la hipotenusa formada por la proyección horizontal y la altura de cumbrera.
Errores frecuentes
- Aplicarlo a un triángulo que no es rectángulo: para los demás se usa el teorema del coseno.
- Confundir la hipotenusa con un cateto: la hipotenusa es siempre el lado más largo, opuesto al ángulo recto.
- Olvidar la raíz cuadrada al final: a² + b² da el cuadrado de la hipotenusa, no la hipotenusa.
- Mezclar unidades: convierte todo a centímetros o a metros antes de calcular.
Para un triángulo cualquiera definido por sus tres lados, usa la calculadora de triángulos, que aplica la fórmula de Herón.