Le théorème de Pythagore
Au programme de quatrième, le théorème de Pythagore relie les trois côtés d’un triangle rectangle : le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Il sert à calculer une longueur, mais sa réciproque permet aussi de prouver qu’un triangle est rectangle. Ce calculateur fait les trois : il calcule l’hypoténuse, un côté de l’angle droit, ou vérifie si un triangle est rectangle, et donne en plus ses angles, son aire et son périmètre.
Les formules
Dans un triangle rectangle de côtés a et b et d’hypoténuse c :
- Hypoténuse : c = √(a² + b²).
- Côté de l’angle droit : b = √(c² − a²).
- Angles aigus : l’angle opposé à a vaut arctan(a ÷ b), et les deux angles aigus totalisent 90°.
- Aire = a × b ÷ 2 et hauteur relative à l’hypoténuse = a × b ÷ c.
Exemple chiffré : côtés de 6 et 8 cm
- c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100.
- c = √100 = 10 cm.
- Angles : arctan(6 ÷ 8) = 36,87° et 90 − 36,87 = 53,13°.
- Aire : 6 × 8 ÷ 2 = 24 cm². Périmètre : 6 + 8 + 10 = 24 cm.
- Hauteur issue de l’angle droit : 6 × 8 ÷ 10 = 4,8 cm.
Hypoténuse avec a = 6 cm et d’autres valeurs de b
| b | Hypoténuse | Angle opposé à a |
|---|---|---|
| 3 cm | 6,71 cm | 63,43° |
| 6 cm | 8,49 cm | 45,00° |
| 8 cm | 10,00 cm | 36,87° |
| 10 cm | 11,66 cm | 30,96° |
| 12 cm | 13,42 cm | 26,57° |
Rédiger la réciproque
Pour démontrer qu’un triangle ABC de côtés AB = 6 cm, AC = 8 cm et BC = 10 cm est rectangle :
- On repère le plus grand côté : [BC].
- On calcule séparément : BC² = 100, et AB² + AC² = 36 + 64 = 100.
- On constate l’égalité BC² = AB² + AC².
- On conclut : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.
Si l’égalité est fausse, on conclut avec la contraposée que le triangle n’est pas rectangle. Le calculateur affiche l’écart c² − (a² + b²) pour le vérifier.
Dans la vie courante
- Chantier : pour tracer un angle droit, on mesure 3 m sur un côté et 4 m sur l’autre ; la diagonale doit faire exactement 5 m. Les maçons parlent de la règle du 3-4-5, ou de 6-8-10 pour plus de précision.
- Échelle : une échelle de 5 m posée à 1,40 m du mur atteint √(25 − 1,96) = 4,80 m de haut.
- Écran : la diagonale d’une télévision est l’hypoténuse de sa largeur et de sa hauteur.
- Toiture : la longueur d’un chevron se calcule à partir de la demi-portée et de la hauteur du faîtage.
- Distances : sur un plan quadrillé, 3 carreaux vers l’est et 4 vers le nord placent à 5 carreaux à vol d’oiseau.
Les triplets pythagoriciens
Certains triangles rectangles ont des côtés entiers : 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25, et tous leurs multiples, comme 6-8-10. Les Babyloniens en connaissaient déjà des dizaines, bien avant Pythagore.
Et pour un triangle quelconque ?
Quand l’angle n’est pas droit, on utilise le théorème d’Al-Kashi, vu au lycée : c² = a² + b² − 2ab × cos(C). Si c² est inférieur à a² + b², l’angle opposé à c est aigu ; s’il est supérieur, il est obtus.
Attention aux unités
Les trois longueurs doivent être exprimées dans la même unité. Convertissez tout en centimètres ou tout en mètres avant de calculer, et arrondissez seulement le résultat final, en précisant s’il s’agit d’une valeur exacte ou approchée.