La question à laquelle répond Kelly
Si vous disposez d’un avantage, un pari ou un placement où vous gagnez plus que vous ne perdez en moyenne, quelle part de votre capital engager ? Miser trop peu fait croître le capital lentement ; miser trop peut tout faire perdre après une série de défaites, même si chaque pari était favorable. En 1956, John Kelly, chercheur aux Bell Labs, a trouvé la mise qui maximise la croissance à long terme du capital.
La formule
f = p − q ÷ b*
- p : votre probabilité de gagner
- q = 1 − p : la probabilité de perdre
- b : le gain net pour 1 € misé, soit la cote décimale moins 1
Si f* est nul ou négatif, le pari n’a pas d’espérance positive et Kelly conseille de ne pas miser.
Convertir une cote
| Format | Exemple | Gain net b |
|---|---|---|
| Décimal (cote française) | 2,10 | 2,10 − 1 = 1,10 |
| Américain négatif | −110 | 100 ÷ 110 = 0,909 |
| Américain positif | +150 | 150 ÷ 100 = 1,5 |
| Fractionnel (britannique) | 5/2 | 2,5 |
Exemple
Vous estimez à 50 % la probabilité qu’une équipe gagne, et l’opérateur la cote à 2,10.
- b = 1,10, q = 0,50
- Kelly complet = 0,50 − 0,50 ÷ 1,10 = 4,55 % du capital
- La cote correspond à une probabilité implicite de 47,6 % : votre avantage est de 5 % par euro misé
- En demi-Kelly, avec un capital de 1 000 €, la mise est de 22,73 €
- Croissance attendue du capital : environ 0,085 % par pari
Pourquoi miser une fraction de Kelly
Le Kelly complet n’est optimal que si votre estimation de probabilité est parfaitement juste. En pratique :
- Les estimations sont imprécises. Surestimer son avantage de quelques points transforme Kelly en surmise, qui réduit la croissance et augmente le risque de ruine.
- Les variations sont fortes. Avec le Kelly complet, il y a une chance sur deux que le capital tombe un jour à la moitié de sa valeur de départ.
- Le demi-Kelly conserve environ les trois quarts de la croissance avec une volatilité à peu près divisée par deux ; le quart de Kelly est encore plus prudent.
Kelly et l’investissement
Le même principe s’applique au dimensionnement d’une position : avec une espérance de rendement excédentaire μ et une variance σ², la fraction de Kelly investie dans un actif risqué vaut environ μ ÷ σ². Pour les actions, ce calcul suggère souvent un effet de levier, d’où l’usage d’une petite fraction de Kelly par la plupart des investisseurs.
Les paris sportifs en France
Seuls les opérateurs agréés par l’Autorité nationale des jeux (ANJ) peuvent proposer des paris en ligne. Leurs cotes intègrent une marge, si bien que la plupart des paris ont une espérance négative : Kelly conseille alors de ne rien miser. Jouer comporte des risques : endettement, dépendance. Pour être aidé, appelez le 09 74 75 13 13 (Joueurs Info Service, appel non surtaxé).
Ce calculateur fournit des estimations à visée pédagogique. Il ne constitue pas un conseil en investissement, fiscal ou juridique : pour votre situation personnelle, consultez un conseiller en gestion de patrimoine, votre banque ou un expert-comptable.