Ce que représente l’espérance
L’espérance mathématique est le résultat moyen d’une situation aléatoire répétée un grand nombre de fois. Elle sert à juger un jeu, une assurance, un placement ou une décision d’entreprise : une espérance positive fait gagner en moyenne, une espérance négative fait perdre.
Les formules
- Espérance E(X) = Σ xᵢ × pᵢ
- Variance V(X) = Σ pᵢ × (xᵢ − E(X))²
- Écart type σ = √V(X)
La somme des probabilités doit valoir 100 % lorsque toutes les issues sont listées.
Exemple chiffré
Un jeu dans lequel on :
| Issue | Gain | Probabilité |
|---|---|---|
| Gros lot | +100 € | 10 % |
| Petit lot | +20 € | 20 % |
| Perte | −10 € | 70 % |
- Espérance : 100 × 0,10 + 20 × 0,20 − 10 × 0,70 = 10 + 4 − 7 = 7 € par partie.
- Variance : 0,10 × 93² + 0,20 × 13² + 0,70 × 17² = 864,9 + 33,8 + 202,3 = 1 101.
- Écart type : √1 101 ≈ 33,18 €.
En moyenne, le joueur gagne 7 € par partie, mais chaque résultat s’écarte fortement de cette moyenne.
Des exemples concrets
- Roulette européenne : une mise de 1 € sur rouge rapporte 1 € avec une probabilité de 18/37 et fait perdre 1 € avec 19/37. Espérance : −0,027 €, soit un avantage de la maison d’environ 2,7 %.
- Jeux de la FDJ : la part des mises reversée aux gagnants est fixée par la réglementation et reste nettement inférieure à 100 % : l’espérance du joueur est toujours négative.
- Extension de garantie : une garantie à 150 € qui couvre une réparation de 600 € survenant avec 15 % de probabilité rapporte en moyenne 90 € : son espérance pour l’acheteur est de −60 €.
L’espérance ne dit pas tout
- Le risque : deux choix de même espérance peuvent présenter des risques très différents, mesurés par l’écart type.
- La ruine : un pari d’espérance positive peut ruiner si une seule perte est trop lourde à absorber. C’est pourquoi l’assurance a du sens malgré son espérance négative : elle protège contre des pertes catastrophiques.
- Les décisions uniques : l’espérance décrit une moyenne sur de nombreuses répétitions. Pour une décision prise une seule fois, l’éventail des résultats compte aussi.
Au programme
L’espérance d’une variable aléatoire discrète est au programme de première et de terminale. Le calculateur permet de vérifier les exercices : saisissez les valeurs prises par la variable et leurs probabilités, il donne E(X), V(X) et σ(X).