La loi de Fisher-Snedecor
La loi F de Fisher-Snedecor est la loi du rapport de deux variables du khi-deux indépendantes, chacune divisée par ses degrés de liberté : F = (χ²₁/d₁) ÷ (χ²₂/d₂). Elle dépend de deux paramètres, d₁ au numérateur et d₂ au dénominateur, et ne prend que des valeurs positives. Son espérance vaut d₂ ÷ (d₂ − 2) lorsque d₂ > 2, une valeur proche de 1.
Ce que fait ce calculateur
- Valeur p : P(F ≥ f), la queue droite utilisée par l’ANOVA et les tests de régression.
- F critique au seuil α, à la place des tables de Fisher.
- Probabilité cumulée P(F ≤ f) et espérance de la loi.
Exemple
Une ANOVA à 4 groupes sur 28 observations donne F = 3,2 avec 3 et 24 degrés de liberté :
- p ≈ 0,041 : significatif au seuil de 5 % ;
- F critique à 5 % : 3,009, que la statistique dépasse.
Où intervient-elle ?
- ANOVA : d₁ = nombre de groupes − 1 et d₂ = nombre total d’observations − nombre de groupes.
- Régression linéaire multiple : test global du modèle avec d₁ = nombre de variables explicatives p et d₂ = n − p − 1.
- Comparaison de deux variances : d₁ = n₁ − 1 et d₂ = n₂ − 1 (voir le test F d’égalité des variances).
- Comparaison de modèles emboîtés.
Propriétés utiles
- Si T suit une loi de Student à ν degrés de liberté, T² suit une loi F(1, ν) : un test t bilatéral et un test F à 1 degré de liberté au numérateur sont équivalents.
- La queue gauche se déduit de la queue droite : F₁₋α(d₁, d₂) = 1 ÷ Fα(d₂, d₁). C’est pourquoi les anciennes tables ne donnaient que les quantiles supérieurs.
- Quand d₂ devient très grand, d₁ × F tend vers une loi du khi-deux à d₁ degrés de liberté.
Calcul
La fonction de répartition s’écrit avec la fonction bêta incomplète régularisée : P(F ≤ f) = I(d₁f ÷ (d₁f + d₂) ; d₁/2, d₂/2). Le calculateur l’évalue par fraction continue de Lentz et obtient les valeurs critiques par dichotomie, avec une précision d’environ dix chiffres.