À quoi sert le test F d’égalité des variances
Le test F de Fisher compare les variances de deux populations à partir de deux échantillons indépendants. On l’utilise pour savoir si deux machines, deux méthodes de mesure ou deux fournisseurs ont la même dispersion, et traditionnellement pour vérifier la condition d’égalité des variances avant un test t de Student.
La formule
F = s₁² ÷ s₂², avec n₁ − 1 degrés de liberté au numérateur et n₂ − 1 au dénominateur.
Sous l’hypothèse nulle d’égalité des variances, ce rapport suit la loi de Fisher-Snedecor. En bilatéral, la valeur p vaut deux fois la plus petite des deux queues, et l’on rejette l’égalité si F sort de l’intervalle compris entre les deux valeurs critiques.
Exemple
Échantillon 1 : écart-type 12 sur 25 valeurs. Échantillon 2 : écart-type 8 sur 20 valeurs.
- F = 144 ÷ 64 = 2,25, avec 24 et 19 degrés de liberté ;
- valeur p bilatérale ≈ 0,075 : non significatif au seuil de 5 % ;
- les valeurs critiques bilatérales valent environ 0,43 et 2,45 ; F reste entre les deux.
Malgré un écart-type 1,5 fois plus grand, ces effectifs ne permettent pas de conclure à des dispersions différentes.
Lire le résultat
- p inférieure à α : les variances diffèrent significativement.
- p supérieure ou égale à α : rien ne permet de rejeter l’égalité des variances, sans pour autant la démontrer.
Pour un test unilatéral (« la variance 1 est-elle plus grande ? »), mettez au numérateur l’échantillon dont on soupçonne la plus forte dispersion.
Une mise en garde importante
Le test F est très sensible à la non-normalité : une distribution à queues épaisses suffit à le rendre significatif alors que les variances sont égales. Pour cette raison, beaucoup de statisticiens préconisent aujourd’hui :
- le test de Levene ou celui de Brown-Forsythe pour comparer des dispersions sur des données réelles ;
- le test t de Welch d’emblée, plutôt qu’un test F préalable suivi d’un test de Student, car cet enchaînement en deux temps fausse le risque d’erreur global.
Le test F reste toutefois au programme des BTS et des licences, et il est adapté au contrôle qualité quand la normalité des mesures est bien établie.