À quoi sert l’ANOVA de Welch
L’ANOVA de Welch compare les moyennes de trois groupes ou plus sans supposer l’égalité des variances. L’ANOVA classique à un facteur regroupe les variances de tous les groupes : quand leurs écarts-types diffèrent, surtout avec des effectifs inégaux, ses valeurs p peuvent être très faussées. La version de Welch pondère chaque groupe par sa précision, n ÷ s², et ajuste les degrés de liberté. Beaucoup de statisticiens la recommandent désormais par défaut, comme le test t de Welch pour deux groupes.
Les formules
Pour chaque groupe i, le poids vaut wᵢ = nᵢ ÷ sᵢ², et la moyenne générale pondérée x̄w = Σwᵢx̄ᵢ ÷ Σwᵢ. Ensuite :
- A = Σwᵢ(x̄ᵢ − x̄w)² ÷ (k − 1) ;
- Λ = Σ(1 − wᵢ ÷ Σw)² ÷ (nᵢ − 1) ;
- F = A ÷ (1 + 2(k − 2)Λ ÷ (k² − 1)) ;
- degrés de liberté : k − 1 et (k² − 1) ÷ (3Λ).
La valeur p est lue sur la loi de Fisher-Snedecor à ces degrés de liberté, en général non entiers.
Exemple
Trois groupes de 10, de moyennes 20, 23 et 25 et d’écarts-types 4, 5 et 4,5 (les mêmes données que le calculateur d’ANOVA à un facteur) :
- moyenne générale pondérée : 22,42 ;
- F de Welch ≈ 3,41, avec 2 et environ 17,9 degrés de liberté ;
- p ≈ 0,056 : non significatif au seuil de 5 %.
L’ANOVA classique donne F = 3,10 et p ≈ 0,061. Avec des effectifs égaux et des écarts-types proches, les deux tests concordent ; ils divergent quand un petit groupe a une grande variance.
Quand la différence compte
- Si les petits groupes ont les plus grands écarts-types, l’ANOVA classique produit trop de faux positifs.
- Si les grands groupes ont les plus grands écarts-types, elle devient trop conservatrice.
- L’ANOVA de Welch garde un risque d’erreur proche du seuil annoncé dans les deux cas.
Un rapport entre le plus grand et le plus petit écart-type supérieur à 2 environ, affiché par le calculateur, est un signal d’alerte courant.
Après un résultat significatif
Poursuivez par des comparaisons deux à deux qui tolèrent aussi des variances inégales, comme le test de Games-Howell, ou des tests t de Welch avec une correction de Holm. Dans R, la fonction oneway.test réalise l’ANOVA de Welch par défaut.
Conditions d’application
- Groupes indépendants.
- Données à peu près normales dans chaque groupe ; l’ANOVA de Welch est robuste à des écarts modérés, surtout à partir de 10 observations par groupe.
- Au moins 2 observations par groupe ; de très petits groupes rendent les degrés de liberté instables.
Pour des données très asymétriques ou des notes ordinales, le test de Kruskal-Wallis est une alternative, qui suppose toutefois des distributions de forme semblable.