À quoi sert le test de Kruskal-Wallis
Le test H de Kruskal-Wallis généralise le test de Mann-Whitney à trois groupes indépendants ou plus. C’est l’équivalent non paramétrique de l’ANOVA à un facteur : au lieu de comparer des moyennes, il compare les rangs moyens des groupes, après avoir réuni et classé toutes les observations de 1 à N. On l’utilise quand les données sont asymétriques, ordinales ou contiennent des valeurs aberrantes, ou quand les variances des groupes sont très inégales.
La formule
H = 12 ÷ (N(N + 1)) × Σ (Rᵢ² ÷ nᵢ) − 3(N + 1)
- Rᵢ est la somme des rangs du groupe i et nᵢ son effectif ;
- N est le nombre total d’observations.
Dès que chaque groupe compte au moins cinq observations, H suit approximativement une loi du khi-deux à k − 1 degrés de liberté, k étant le nombre de groupes. Le calculateur vérifie aussi que vos sommes de rangs totalisent N(N + 1) ÷ 2, un moyen simple de repérer une erreur de classement.
Exemple
Trois groupes de 6 observations, de sommes de rangs 33, 57 et 81 :
- N = 18, et les sommes de rangs totalisent bien 171 = 18 × 19 ÷ 2 ;
- Σ Rᵢ² ÷ nᵢ = (1 089 + 3 249 + 6 561) ÷ 6 = 1 816,5 ;
- H = 12 ÷ 342 × 1 816,5 − 57 ≈ 6,74, avec 2 degrés de liberté ;
- p ≈ 0,034 : significatif au seuil de 5 % ; le H critique vaut 5,99 ;
- la taille d’effet η²(H) ≈ 0,32 est forte.
Comment obtenir les sommes de rangs
- Réunissez toutes les valeurs et triez-les.
- Donnez le rang 1 à la plus petite. Des valeurs ex aequo reçoivent la moyenne des rangs qu’elles occupent.
- Additionnez les rangs de chaque groupe.
Après un résultat significatif
Un H significatif indique qu’au moins un groupe diffère, sans dire lequel. Poursuivez par des comparaisons deux à deux, comme le test de Dunn ou des tests de Mann-Whitney, avec une correction de Bonferroni ou de Holm pour le nombre de comparaisons.
Limites
- Les groupes doivent être indépendants. Pour des mesures répétées sur les mêmes sujets, utilisez le test de Friedman.
- De nombreux ex aequo appellent une correction qui augmente légèrement H ; la valeur non corrigée utilisée ici est conservatrice.
- Avec de très petits groupes (moins de cinq), utilisez les tables exactes.
- Les repères de taille d’effet pour η²(H) sont ceux de l’ANOVA : environ 0,01 faible, 0,06 moyen et 0,14 fort.