L’aire à partir des coordonnées
Quand une figure est donnée par les coordonnées de ses sommets (une parcelle relevée par un géomètre, une pièce sur un plan, un polygone dans un logiciel de dessin), inutile de la découper en triangles. La formule du lacet donne l’aire directement à partir de la liste des sommets.
La formule du lacet
Pour des sommets (x₁, y₁), (x₂, y₂), …, (xₙ, yₙ) listés dans l’ordre du contour :
Aire = ½ × |x₁y₂ − x₂y₁ + x₂y₃ − x₃y₂ + … + xₙy₁ − x₁yₙ|
Écrivez les coordonnées en deux colonnes, recopiez le premier point en bas, et multipliez en diagonale dans les deux sens : les croisements évoquent le laçage d’une chaussure. On parle aussi de formule de Gauss ou de formule de l’arpenteur.
Sans la valeur absolue, la somme donne une aire algébrique : positive si les sommets sont parcourus dans le sens trigonométrique (inverse des aiguilles d’une montre), négative dans le sens horaire.
Périmètre et centre de gravité
Le périmètre est la somme des distances entre sommets consécutifs, y compris le côté qui referme la figure du dernier sommet au premier.
Le centre de gravité (ou centroïde), point d’équilibre d’une plaque homogène de cette forme, vaut :
Gx = Σ (xᵢ + xᵢ₊₁)(xᵢyᵢ₊₁ − xᵢ₊₁yᵢ) ÷ (6A), et de même pour Gy, avec A l’aire algébrique.
Exemple chiffré
Un pentagone de sommets (0 ; 0), (4 ; 0), (5 ; 3), (2 ; 5) et (−1 ; 3) :
- Produits croisés : 0, 12, 19, 11 et 0, soit une somme de 42.
- Aire : 42 ÷ 2 = 21 unités d’aire.
- La somme est positive : sommets parcourus dans le sens trigonométrique.
- Périmètre : 4 + 3,1623 + 3,6056 + 3,6056 + 3,1623 = 17,5357.
- Centre de gravité : (2,0000 ; 2,1905).
Règles pour un résultat juste
- Listez les sommets dans l’ordre du contour. Sauter d’un côté à l’autre crée des côtés qui se croisent et une aire fausse.
- Le polygone doit être simple : ses côtés ne se croisent pas. Les formes non convexes, en L ou en flèche, conviennent.
- Ne répétez pas le premier sommet à la fin : le calculateur referme la figure.
- L’aire s’exprime dans le carré de l’unité des coordonnées : en m² si les coordonnées sont en mètres.
Applications
Les géomètres-experts calculent la contenance d’une parcelle à partir des coordonnées de ses bornes, en France généralement dans la projection Lambert 93. Les logiciels de SIG appliquent la même formule sur des coordonnées projetées. Attention : la surface cadastrale indiquée sur un acte peut différer de la surface mesurée ; seul un bornage réalisé par un géomètre-expert fixe les limites d’un terrain. Pour un polygone régulier défini par la longueur de son côté, le calculateur de polygone régulier est plus rapide.