Un cercle, trois points
Deux points ne suffisent pas à définir un cercle : une infinité de cercles passent par eux. Un troisième point, s’il n’est pas aligné avec les deux autres, en fixe un seul. C’est le cercle circonscrit au triangle formé par les trois points, et son centre est le centre du cercle circonscrit.
La géométrie
Le centre doit être à égale distance des trois points. L’ensemble des points équidistants de deux points est la médiatrice du segment qui les relie. Le centre se trouve donc à l’intersection des médiatrices des côtés du triangle. Les trois médiatrices sont concourantes, c’est pourquoi la construction fonctionne toujours quand les points ne sont pas alignés. C’est un grand classique du programme de géométrie du collège.
L’algèbre
Avec les points (x₁, y₁), (x₂, y₂) et (x₃, y₃), posons
D = 2 × [x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)]
Le centre (h, k) vaut alors :
- h = [(x₁² + y₁²)(y₂ − y₃) + (x₂² + y₂²)(y₃ − y₁) + (x₃² + y₃²)(y₁ − y₂)] ÷ D
- k = [(x₁² + y₁²)(x₃ − x₂) + (x₂² + y₂²)(x₁ − x₃) + (x₃² + y₃²)(x₂ − x₁)] ÷ D
et le rayon est la distance du centre à l’un des points. Si D = 0, les points sont alignés et aucun cercle n’existe.
Exemple
Prenons les points (0, 0), (4, 0) et (0, 3), sommets d’un triangle rectangle de côtés 3, 4 et 5.
- D = 2 × [0 + 4 × (3 − 0) + 0] = 24.
- h = [0 + 16 × 3 + 0] ÷ 24 = 2.
- k = [0 + 0 + 9 × 4] ÷ 24 = 1,5.
- r = √(2² + 1,5²) = 2,5.
L’équation réduite est (x − 2)² + (y − 1,5)² = 6,25, soit x² + y² − 4x − 3y = 0 sous forme développée. Le périmètre vaut 15,708 et l’aire 19,635.
Le centre est le milieu de l’hypoténuse, comme le prévoit le théorème du cercle circonscrit au triangle rectangle : l’hypoténuse en est un diamètre.
Applications
- Topographie et tracé routier : faire passer une courbe par trois points relevés sur le terrain.
- Usinage et contrôle : retrouver le centre et le rayon d’un alésage ou d’un arbre usé à partir de trois points palpés.
- Infographie : tracer un arc par trois clics.
- Triangles : le rayon du cercle circonscrit relie les côtés et l’aire : R = abc ÷ (4 × aire).