Les polygones réguliers
Un polygone régulier a tous ses côtés égaux et tous ses angles égaux. C’est le cas du triangle équilatéral, du carré, du pentagone régulier, de l’hexagone des alvéoles d’abeille ou des écrous, et de l’octogone du panneau stop. Grâce à cette symétrie, il suffit de connaître le nombre de côtés et la longueur d’un côté pour tout calculer.
Les formules
Pour n côtés de longueur s (angles en degrés) :
- Périmètre = n × s
- Apothème (distance du centre au milieu d’un côté, rayon du cercle inscrit) = s ÷ (2 × tan(180° ÷ n))
- Aire = périmètre × apothème ÷ 2
- Rayon du cercle circonscrit (du centre à un sommet) = s ÷ (2 × sin(180° ÷ n))
- Angle intérieur = (n − 2) × 180° ÷ n ; angle extérieur = 360° ÷ n
- Somme des angles intérieurs = (n − 2) × 180°
- Nombre de diagonales = n × (n − 3) ÷ 2
Exemple : un hexagone de 10 cm de côté
- Périmètre : 6 × 10 = 60 cm.
- Apothème : 10 ÷ (2 × tan 30°) = 8,66 cm.
- Aire : 60 × 8,66 ÷ 2 = 259,81 cm².
- Rayon du cercle circonscrit : 10 ÷ (2 × sin 30°) = 10 cm. Dans un hexagone régulier, le rayon est égal au côté : la figure se découpe en six triangles équilatéraux.
- Angle intérieur : 4 × 180 ÷ 6 = 120°. La somme des angles vaut 720° et la figure compte 9 diagonales.
- D’un sommet au sommet opposé, l’hexagone mesure 20 cm. Entre deux côtés opposés, il mesure 2 × 8,66 = 17,32 cm : c’est cette cote qui détermine la taille de la clé pour un écrou.
Même côté de 10 cm, autres polygones
| Polygone | Côtés | Aire | Angle intérieur | Rayon circonscrit |
|---|---|---|---|---|
| Triangle équilatéral | 3 | 43,30 | 60° | 5,774 |
| Carré | 4 | 100,00 | 90° | 7,071 |
| Pentagone | 5 | 172,05 | 108° | 8,507 |
| Hexagone | 6 | 259,81 | 120° | 10,000 |
| Octogone | 8 | 482,84 | 135° | 13,066 |
| Décagone | 10 | 769,42 | 144° | 16,180 |
| Dodécagone | 12 | 1 119,62 | 150° | 19,319 |
Plus le nombre de côtés augmente, plus le polygone ressemble à un cercle, et son aire se rapproche de π × r².
Applications pratiques
- Menuiserie : un cadre ou une table octogonale demande des coupes d’onglet à 22,5°, la moitié de l’angle extérieur de 45°.
- Kiosques, bacs à fleurs, tonnelles : le rayon circonscrit donne l’emprise au sol, l’apothème la distance du centre à chaque paroi.
- Carrelage : seuls le triangle, le carré et l’hexagone pavent un sol à eux seuls, car leur angle intérieur divise 360° exactement. C’est le principe des tomettes hexagonales.
- Pentagone et nombre d’or : dans un pentagone régulier, une diagonale divisée par un côté vaut φ ≈ 1,618.