Une tranche de sphère
Coupez une sphère par un plan et vous obtenez deux calottes sphériques. Dômes, bols, lentilles de contact, fonds bombés de certaines cuves, ou le liquide au fond d’une cuve sphérique ont cette forme.
Les formules
Avec R le rayon de la sphère et h la hauteur de la calotte :
- Volume : V = π × h² × (3R − h) ÷ 3
- Rayon de la base : a = √(h × (2R − h))
- Surface courbe : A = 2π × R × h
- Surface de la base : π × a²
La formule de la surface courbe est d’une simplicité remarquable : elle est égale à la surface latérale d’un cylindre de même rayon et de même hauteur. Archimède l’a démontré il y a plus de 2 200 ans, et c’était l’un des résultats dont il était le plus fier.
Exemple
Un dôme découpé dans une sphère de 3 m de rayon, d’une hauteur de 1 m :
| Résultat | Valeur |
|---|---|
| Volume | 8,38 m³ (8 378 litres) |
| Rayon de la base | 2,24 m (4,47 m de diamètre) |
| Surface courbe | 18,85 m² |
| Surface de la base | 15,71 m² |
| Part du volume de la sphère | 7,4 % |
Partir de la largeur et de la hauteur
On connaît souvent la largeur d’un dôme et sa hauteur, pas le rayon de la sphère. Avec un rayon de base a et une hauteur h :
R = (a² + h²) ÷ (2h)
Un dôme de 4,47 m de large (a = 2,236) et de 1 m de haut provient d’une sphère de (5 + 1) ÷ 2 = 3 m de rayon.
Usages pratiques
- Dômes et coupoles : surface pour la couverture ou la peinture, et volume intérieur pour le chauffage, par exemple pour une yourte à toit bombé ou un dôme géodésique.
- Cuves : volume de liquide dans une cuve sphérique remplie jusqu’à la hauteur h ; au-dessus du milieu, retranchez la calotte vide du haut au volume de la sphère.
- Optique : la flèche d’une surface de lentille.
- Cuisine : le volume d’un cul-de-poule rempli jusqu’à une certaine hauteur.
Vérifications
Si h = R, la calotte est une demi-sphère : V = 2πR³ ÷ 3 et A = 2πR². Si h = 2R, c’est la sphère entière : V = 4πR³ ÷ 3. Si vous saisissez une hauteur supérieure au diamètre, le calculateur la limite à la sphère entière.