La droite passant par deux points
Deux points A(x₁ ; y₁) et B(x₂ ; y₂) d’un repère définissent une droite. Leurs coordonnées suffisent pour trouver l’inclinaison de cette droite, son équation, ses points d’intersection avec les axes, la distance AB et le milieu du segment [AB]. Ce sont les formules de base de la géométrie repérée, au programme de seconde, utilisées aussi en cartographie, en infographie et en topographie.
Les formules
- Coefficient directeur : a = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁), la variation des ordonnées sur la variation des abscisses
- Ordonnée à l’origine : b = y₁ − a × x₁, d’où l’équation réduite y = ax + b
- Abscisse à l’origine : −b ÷ a, où la droite coupe l’axe des abscisses
- Distance : AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²), d’après le théorème de Pythagore
- Milieu : ((x₁ + x₂) ÷ 2 ; (y₁ + y₂) ÷ 2)
- Angle avec l’axe des abscisses : arctan(a) ; pente en pourcentage = a × 100
Exemple : A(1 ; 2) et B(4 ; 6)
- Variation des abscisses : 4 − 1 = 3 ; variation des ordonnées : 6 − 2 = 4.
- Coefficient directeur : 4 ÷ 3 = 1,3333.
- Ordonnée à l’origine : 2 − 1,3333 × 1 = 0,6667, donc y = 1,3333x + 0,6667.
- Distance : √(9 + 16) = 5.
- Milieu : (2,5 ; 4).
- Angle : arctan(1,3333) = 53,13° ; pente de 133,33 %.
- La droite coupe l’axe des abscisses en x = −0,5.
Lire le coefficient directeur
| Coefficient directeur | Droite |
|---|---|
| Positif | monte de gauche à droite |
| Négatif | descend de gauche à droite |
| Nul | horizontale, d’équation y = constante |
| Non défini | verticale, d’équation x = constante |
Deux droites sont parallèles quand elles ont le même coefficient directeur. Elles sont perpendiculaires quand le produit de leurs coefficients directeurs vaut −1 : une perpendiculaire à une droite de coefficient 4/3 a pour coefficient −3/4. Le vecteur AB(3 ; 4) est un vecteur directeur de la droite.
Retrouver une extrémité
Si l’on connaît une extrémité A et le milieu M, l’autre extrémité est B = 2M − A : x₂ = 2 × x_M − x₁ et y₂ = 2 × y_M − y₁.
Applications pratiques
- Routes et rampes : une route qui monte de 6 m sur 100 m a une pente de 0,06, soit 6 %. C’est le pourcentage affiché sur les panneaux de descente dangereuse.
- Taux de variation : sur un graphique distance-temps, le coefficient directeur entre deux points est la vitesse moyenne.
- Cartes : sur un plan quadrillé, la formule de distance donne la distance à vol d’oiseau. Pour des coordonnées GPS sur de longues distances, il faut tenir compte de la courbure de la Terre.