Résoudre un triangle
Un triangle possède trois côtés et trois angles, et dans la plupart des cas trois de ces six valeurs suffisent pour trouver les autres. Ce calculateur traite les deux situations les plus courantes : deux côtés et l’angle compris entre eux, résolu avec le théorème d’Al-Kashi, et deux angles et le côté compris, résolu avec la loi des sinus. Si vous connaissez les trois côtés, utilisez le calculateur de triangle ; pour un triangle rectangle, le théorème de Pythagore va plus vite.
Les formules
- Théorème d’Al-Kashi (loi des cosinus) : c² = a² + b² − 2ab cos C
- Loi des sinus : a ÷ sin A = b ÷ sin B = c ÷ sin C
- Somme des angles : A + B + C = 180°
- Aire : ½ × a × b × sin C
- Rayon du cercle circonscrit : R = c ÷ (2 sin C)
Le théorème d’Al-Kashi généralise celui de Pythagore : quand C = 90°, cos C = 0 et l’on retrouve c² = a² + b².
Exemple : deux côtés et l’angle compris
Côtés a = 5 et b = 7, avec un angle C = 60° entre eux.
- c² = 25 + 49 − 2 × 5 × 7 × 0,5 = 39, donc c = 6,245.
- cos A = (b² + c² − a²) ÷ (2bc) = 63 ÷ 87,43, donc A = 43,90°.
- B = 180° − 60° − 43,90° = 76,10°.
- Aire = ½ × 5 × 7 × sin 60° = 15,155 ; périmètre = 18,245.
Exemple : deux angles et le côté compris
Angles A = 40° et B = 60°, avec le côté c = 10 entre eux.
- C = 180° − 40° − 60° = 80°.
- a = 10 × sin 40° ÷ sin 80° = 6,527.
- b = 10 × sin 60° ÷ sin 80° = 8,794.
- Aire = ½ × a × b × sin C = 28,26.
Quelle méthode selon les données
| Données connues | Méthode |
|---|---|
| Deux côtés et l’angle compris | Al-Kashi, puis somme des angles |
| Deux angles et le côté compris | somme des angles, puis loi des sinus |
| Deux angles et un autre côté | somme des angles, puis loi des sinus |
| Trois côtés | Al-Kashi pour chaque angle |
| Deux côtés et un angle non compris | cas ambigu : zéro, un ou deux triangles |
À quoi ça sert
Les géomètres mesurent une base et deux angles pour situer un point éloigné : c’est la triangulation, qui a servi à établir la carte de France au XVIIIe siècle. Les charpentiers utilisent Al-Kashi pour calculer des longueurs de chevrons avec des angles quelconques, et les navigateurs pour combiner des routes et des distances. Le calculateur fonctionne avec n’importe quelle unité de longueur, à condition d’utiliser la même pour tous les côtés ; les angles sont en degrés.
Vérifier le résultat
Le plus grand angle est toujours en face du plus grand côté, et la somme des angles vaut 180°. Si les deux angles saisis atteignent ou dépassent 180°, le calculateur signale qu’aucun triangle n’existe.