Trois façons de repérer un point dans l’espace
Les coordonnées cartésiennes (x, y, z) mesurent des distances le long de trois axes perpendiculaires : elles conviennent aux boîtes et aux pièces. Quand un problème a un centre (une planète, une antenne, un atome), il est souvent plus simple de dire à quelle distance du centre se trouve un point et dans quelle direction : c’est le rôle des coordonnées sphériques. Les coordonnées cylindriques sont un intermédiaire, adapté aux tuyaux et aux axes en rotation.
Les conventions
Le calculateur suit la convention des physiciens, celle de la norme ISO 80000-2 :
- r : distance à l’origine.
- θ (colatitude) : angle mesuré depuis l’axe z positif, de 0° à 180°.
- φ (azimut) : angle dans le plan xy, mesuré depuis l’axe x positif, de 0° à 360°.
Certains manuels de mathématiques inversent θ et φ, ou utilisent la latitude au lieu de la colatitude. Vérifiez la convention de votre cours ou de votre logiciel avant de reprendre une formule.
Les formules
Des cartésiennes aux sphériques :
- r = √(x² + y² + z²)
- θ = arccos(z ÷ r)
- φ = atan2(y, x), l’angle du point (x, y) placé dans le bon quadrant
Des sphériques aux cartésiennes :
- x = r sin θ cos φ
- y = r sin θ sin φ
- z = r cos θ
Les coordonnées cylindriques utilisent le même φ, la hauteur z et la distance à l’axe z, ρ = √(x² + y²) = r sin θ.
Exemples chiffrés
Le point (3 ; 4 ; 12) :
- r = √(9 + 16 + 144) = 13.
- θ = arccos(12 ÷ 13) = 22,62°.
- φ = atan2(4, 3) = 53,13°.
- Rayon cylindrique ρ = 5 ; élévation au-dessus du plan xy : 67,38°.
Dans l’autre sens, r = 10, θ = 60°, φ = 45° donne x = y = 6,1237 et z = 5.
Applications
- Géographie et astronomie : la longitude correspond à l’azimut et la latitude à 90° − θ. Les astronomes repèrent les astres par hauteur et azimut, ou par ascension droite et déclinaison, sur le même principe.
- Physique : champ de gravitation ou champ électrique d’une source ponctuelle, son émis par un haut-parleur, orbitales de l’atome d’hydrogène.
- Ingénierie : diagrammes de rayonnement d’antennes, radars et scanners 3D, qui mesurent distance, azimut et site.
- Infographie : caméras en orbite autour d’un objet, voûtes célestes.
Cas particuliers
À l’origine, les angles ne sont pas définis : le calculateur affiche 0. Sur l’axe z, où x = y = 0, l’azimut n’est pas défini et vaut 0. Les angles sont en degrés ; multipliez par π ÷ 180 pour obtenir des radians.