Les vecteurs du plan et de l’espace
Un vecteur a une norme, une direction et un sens ; on le repère par ses coordonnées : u (3 ; 4) dans le plan, ou u (1 ; 2 ; 3) dans l’espace. Les vecteurs décrivent des déplacements, des vitesses, des forces ou des directions en infographie. Ce calculateur prend deux vecteurs u et v et calcule les opérations les plus utilisées en mathématiques, en physique et en ingénierie.
Les formules
- Norme : ‖u‖ = √(x² + y² + z²)
- Produit scalaire : u · v = xx’ + yy’ + zz'
- Angle : θ = arccos(u · v ÷ (‖u‖ × ‖v‖))
- Produit vectoriel : u ∧ v = (yz’ − zy’ ; zx’ − xz’ ; xy’ − yx')
- Projection de u sur v (mesure algébrique) : u · v ÷ ‖v‖
Dans le plan, le calculateur considère que les vecteurs sont dans le plan (x, y) : le produit vectoriel est alors porté par l’axe z.
Exemple dans le plan
u (3 ; 4) et v (5 ; 0).
- ‖u‖ = √(9 + 16) = 5 et ‖v‖ = 5.
- u · v = 3 × 5 + 4 × 0 = 15.
- θ = arccos(15 ÷ 25) = arccos 0,6 = 53,13°.
- Produit vectoriel : (0 ; 0 ; 3 × 0 − 4 × 5) = (0 ; 0 ; −20) : le parallélogramme construit sur u et v a une aire de 20.
- La projection de u sur v vaut 15 ÷ 5 = 3 : l’ombre de u sur l’axe des abscisses.
Exemple dans l’espace
u (1 ; 2 ; 3) et v (4 ; 5 ; 6) donnent un produit scalaire de 32, des normes de 3,742 et 8,775, un angle de 12,93° et un produit vectoriel (−3 ; 6 ; −3), de norme 7,348.
Ce que dit le produit scalaire
| Produit scalaire | Angle | Interprétation |
|---|---|---|
| positif | aigu, moins de 90° | les vecteurs vont à peu près dans le même sens |
| nul | droit, 90° | vecteurs orthogonaux |
| négatif | obtus, plus de 90° | ils vont à peu près en sens contraire |
En physique, le travail d’une force est le produit scalaire de la force et du déplacement : seule la composante de la force dans le sens du mouvement travaille.
Ce que dit le produit vectoriel
Le produit vectoriel est orthogonal aux deux vecteurs, selon la règle de la main droite, et sa norme vaut ‖u‖ × ‖v‖ × sin θ, l’aire du parallélogramme. Il est nul quand les vecteurs sont colinéaires. Il donne la normale à une surface en 3D, le moment d’une force et la force de Lorentz subie par une charge en mouvement dans un champ magnétique.
Conseils
Utilisez la même unité pour toutes les coordonnées. Pour obtenir un vecteur unitaire, divisez chaque coordonnée par la norme. Le produit scalaire est commutatif (u · v = v · u), mais pas le produit vectoriel : v ∧ u est l’opposé de u ∧ v.