Deux façons de repérer un point
Un point du plan peut être repéré par ses coordonnées cartésiennes, l’abscisse x et l’ordonnée y, ou par ses coordonnées polaires : la distance r à l’origine et l’angle θ mesuré dans le sens direct depuis l’axe des abscisses. Les coordonnées polaires sont naturelles pour tout ce qui tourne ou rayonne : écrans radar, mouvements circulaires, antennes, nombres complexes et spirales.
Les formules
- Vers les polaires : r = √(x² + y²) et θ = atan2(y, x)
- Vers les cartésiennes : x = r cos θ et y = r sin θ
- Degrés en radians : multiplier par π ÷ 180
La fonction atan2 renvoie un angle entre −180° et 180° placé dans le bon quadrant. Le calculateur donne aussi l’angle entre 0° et 360°, la convention de la navigation et de nombreux manuels.
Exemple chiffré
Convertissons le point (−3 ; 4) en coordonnées polaires.
- r = √(9 + 16) = 5.
- Un simple arctan(4 ÷ −3) donnerait −53,13°, qui pointe vers le quatrième quadrant. Comme x est négatif et y positif, le point est dans le deuxième quadrant : θ = −53,13° + 180° = 126,87°.
- En radians : 126,87 × π ÷ 180 = 2,2143 rad.
Dans l’autre sens, r = 5 et θ = 30° donnent x = 5 cos 30° = 4,330 et y = 5 sin 30° = 2,5.
Quadrants et angles
| Quadrant | Signes | Angle |
|---|---|---|
| I | x > 0, y > 0 | de 0° à 90° |
| II | x < 0, y > 0 | de 90° à 180° |
| III | x < 0, y < 0 | de 180° à 270° (ou de −180° à −90°) |
| IV | x > 0, y < 0 | de 270° à 360° (ou de −90° à 0°) |
Les points situés sur les axes ont un angle de 0°, 90°, 180° ou 270°. À l’origine, r = 0 et l’angle n’est pas défini ; le calculateur affiche 0°.
Usages courants
- Physique : un mouvement circulaire se décrit par un rayon constant et un angle qui varie avec le temps.
- Nombres complexes : la forme trigonométrique r(cos θ + i sin θ) simplifie les produits, car les modules se multiplient et les arguments s’additionnent.
- Ingénierie : radars et sonars donnent la position d’une cible par une distance et un relèvement.
- Graphisme : des courbes polaires comme r = 1 + cos θ tracent des cardioïdes et des rosaces.
Un même point, plusieurs angles
Un même point peut s’écrire avec des angles qui diffèrent de 360° : (5 ; 126,87°), (5 ; 486,87°) et (5 ; −233,13°) désignent le même point. Certaines conventions autorisent aussi un rayon négatif, dirigé dans le sens opposé. Le calculateur renvoie toujours r ≥ 0 et l’angle principal.