Qu’est-ce que le déterminant
Le déterminant est un nombre calculé à partir d’une matrice carrée. Il indique si la matrice est inversible, si un système d’équations linéaires a une solution unique, et de combien la matrice multiplie les aires ou les volumes. Ce calculateur traite les matrices 2×2 et 3×3, les tailles les plus fréquentes au lycée, en classes préparatoires et en licence.
Les formules
- 2×2 : det (a b ; c d) = ad − bc
- 3×3 (développement selon la première ligne) : a₁₁(a₂₂a₃₃ − a₂₃a₃₂) − a₁₂(a₂₁a₃₃ − a₂₃a₃₁) + a₁₃(a₂₁a₃₂ − a₂₂a₃₁)
- Trace : la somme des coefficients diagonaux
- Inverse 2×2 : (1 ÷ det) × (d −b ; −c a), seulement si det ≠ 0
La règle de Sarrus
Pour une matrice 3×3, recopiez les deux premières colonnes à droite de la matrice. Additionnez les produits des trois diagonales qui descendent vers la droite, puis retranchez les produits des trois diagonales qui montent vers la droite. Le résultat est le même que le développement ; ce raccourci ne fonctionne que pour les matrices 3×3.
Exemple chiffré
Prenons la matrice de lignes (2 ; 1 ; 3), (0 ; −1 ; 4) et (1 ; 2 ; 5).
- Diagonales descendantes : 2 × (−1) × 5 + 1 × 4 × 1 + 3 × 0 × 2 = −10 + 4 + 0 = −6.
- Diagonales montantes : 3 × (−1) × 1 + 1 × 0 × 5 + 2 × 4 × 2 = −3 + 0 + 16 = 13.
- Déterminant = −6 − 13 = −19 : la matrice est inversible.
- Trace = 2 − 1 + 5 = 6.
Pour la matrice 2×2 (2 1 ; 0 −1), le déterminant vaut −2 et l’inverse est (0,5 0,5 ; 0 −1).
Ce que signifie la valeur
| Déterminant | Interprétation |
|---|---|
| non nul | matrice inversible, système à solution unique |
| nul | matrice non inversible : lignes liées |
| valeur absolue | facteur d’aire (2×2) ou de volume (3×3) |
| négatif | la transformation inverse l’orientation, comme un miroir |
Propriétés utiles
- Échanger deux lignes change le signe du déterminant.
- Multiplier une ligne par k multiplie le déterminant par k.
- Ajouter à une ligne un multiple d’une autre ne le change pas : c’est la base du pivot de Gauss.
- Le déterminant d’un produit est le produit des déterminants : det(AB) = det(A) × det(B).
- Une matrice et sa transposée ont le même déterminant.
À quoi ça sert
Les déterminants interviennent dans les formules de Cramer pour résoudre les systèmes, dans la recherche des valeurs propres, dans le calcul de l’aire d’un triangle à partir des coordonnées de ses sommets, et en infographie 3D, où un déterminant négatif révèle une symétrie.