Les systèmes d’équations linéaires
Un système d’équations linéaires est un ensemble d’équations qui doivent être vérifiées en même temps, par exemple 2x + 3y = 13 et x − y = −1. Avec deux inconnues, chaque équation représente une droite, et la solution est le point d’intersection des droites. Avec trois inconnues, chaque équation est un plan, et la solution est le point commun aux trois plans.
La méthode de Cramer
Le calculateur applique les formules de Cramer, qui expriment chaque inconnue comme un quotient de déterminants :
- D est le déterminant des coefficients ;
- Dₓ, Dᵧ et D_z sont le même déterminant où la colonne de x, y ou z est remplacée par les seconds membres ;
- x = Dₓ ÷ D, y = Dᵧ ÷ D, z = D_z ÷ D.
La méthode fonctionne tant que D n’est pas nul. Pour de grands systèmes, le pivot de Gauss est plus rapide, mais pour deux ou trois inconnues Cramer est rapide et exact.
Exemple à deux inconnues
Résolvons 2x + 3y = 13 et x − y = −1.
- D = 2 × (−1) − 3 × 1 = −5.
- Dₓ = 13 × (−1) − 3 × (−1) = −10, donc x = −10 ÷ −5 = 2.
- Dᵧ = 2 × (−1) − 13 × 1 = −15, donc y = −15 ÷ −5 = 3.
- Vérification : 2 × 2 + 3 × 3 = 13 et 2 − 3 = −1.
Exemple à trois inconnues
Résolvons 2x + 3y − z = 13, x − y + 2z = −1 et x + y + z = 6. Le déterminant vaut −5 et la solution est x = 1, y = 4, z = 1. On vérifie : 2 + 12 − 1 = 13, 1 − 4 + 2 = −1 et 1 + 4 + 1 = 6.
Quand il n’y a pas de solution unique
| Cas | Déterminant | Avec deux inconnues |
|---|---|---|
| Solution unique | non nul | deux droites sécantes |
| Aucune solution | nul | deux droites parallèles distinctes |
| Infinité de solutions | nul | deux équations de la même droite |
Par exemple, x + y = 2 et 2x + 2y = 5 n’ont aucune solution : les deux droites sont parallèles. Le calculateur signale un déterminant nul plutôt que d’afficher un résultat trompeur.
Saisir ses équations
Écrivez chaque équation sous la forme ax + by + cz = d, en passant à gauche tous les termes qui contiennent une inconnue et à droite les constantes. Une inconnue absente a un coefficient nul, et un terme −y a pour coefficient −1.
Où l’on rencontre des systèmes
Les systèmes servent à résoudre les problèmes de mélanges (combien de litres de chaque solution), les énigmes de prix (deux places de cinéma et une boisson coûtent tant), les intensités dans un circuit électrique avec les lois de Kirchhoff, ou l’équilibrage des équations chimiques.