La diagonale d’un rectangle
Une diagonale coupe le rectangle en deux triangles rectangles. La longueur et la largeur en sont les côtés de l’angle droit, la diagonale l’hypoténuse. Le théorème de Pythagore, vu en classe de 4e, donne donc directement : diagonale = √(longueur² + largeur²). Elle sert à vérifier l’équerrage d’un cadre ou d’une dalle, à connaître la taille d’un écran ou à savoir si un meuble passera par une porte.
Les formules
- Diagonale d = √(L² + l²)
- Carré : d = côté × √2 ≈ côté × 1,414
- Angle entre la diagonale et la longueur = arctan(l ÷ L)
- Aire = L × l et périmètre = 2 × (L + l)
- Les quatre sommets sont sur un cercle dont le diamètre est la diagonale.
Exemple : un rectangle de 8 × 6
- Diagonale : √(64 + 36) = √100 = 10.
- Angle avec la longueur : arctan(6 ÷ 8) = 36,87°.
- Aire : 48 ; périmètre : 28 ; rapport des côtés : 8 ÷ 6 = 1,333, soit le format 4:3.
La règle du 3-4-5 pour tracer un angle droit
Maçons et charpentiers utilisent ce triangle pour tracer un angle droit sans équerre. Mesurez 3 unités sur un côté et 4 sur l’autre : si l’angle est droit, les deux repères sont distants de 5 exactement. Sur un chantier, on prend 60, 80 et 100 cm, ou 3, 4 et 5 m pour une fondation. C’est le principe de la corde à treize nœuds des bâtisseurs. Sur un rectangle terminé, les deux diagonales doivent être égales. Si elles diffèrent, la forme est un parallélogramme et non un rectangle.
Diagonale selon la longueur (largeur 6)
| Longueur | Diagonale | Angle |
|---|---|---|
| 3 | 6,71 | 63,43° |
| 4 | 7,21 | 56,31° |
| 6 | 8,49 | 45,00° |
| 8 | 10,00 | 36,87° |
| 12 | 13,42 | 26,57° |
| 16 | 17,09 | 20,56° |
Usages courants
- Écrans : la taille d’un téléviseur s’exprime en pouces de diagonale (1 pouce = 2,54 cm). Un 55 pouces mesure 139,7 cm de diagonale ; au format 16:9, cela donne 121,8 cm de large et 68,5 cm de haut.
- Déménagement : une porte de 80 × 204 cm a une diagonale de 219,1 cm. C’est la plus grande longueur de panneau qui passe en le basculant.
- Papier : une feuille A4 de 21 × 29,7 cm a une diagonale de 36,4 cm. Son rapport des côtés vaut √2 : plier une feuille en deux garde la même forme, de l’A3 à l’A4 puis à l’A5.
- Carrelage : couper un carreau carré en diagonale donne deux triangles dont le grand côté vaut le côté × 1,414.